"bestandene Prüfung"

25.10.2005, 16:47

Rhia

"bestandene Prüfung"

Habe folgende Aufgabe als Übung:
Ein Prüfling erhält einen Fragebogen mit 8 Fragen, zu denen jeweils 3 Antworten vorgegeben sind. Bei jeder Frage soll die eine richtige der 3 Antworten angekreuzt werden. Die Prüfung ist bestanden, wenn mehr als 5 Fragen richtig beantwortet werden. Da der Prüfling nicht vorbereitet ist, kreuzt er die Antworten zu den Fragen zufällig an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er die Prüfung?
Ergebnis ist laut meinem Lehrer 129/6561

6561 sind die möglichkeiten, die sich durch 3^8 ergeben. das ist soweit klar.
allerdings komme ich nie im leben auf 129.
dachte:
P(E) = (1/3)^6 * (2/3)^2 * 8

aber das stimmt ja nicht..
kann mir jemand helfen?

25.10.2005, 17:46

therisen

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Hi Rhia,
ich würde das als Bernoulli-Kette der Länge n=8 auffassen. Wenn Z die Anzahl der richtigen Antworten angibt, ist nach

$\begin{eqnarray*} P(Z>5)=1-P(Z \leq 5)=1-F_{1/3}^{8}(5)=1-0,98034=1,966\% \end{eqnarray*}$

gefragt.

Gruß, therisen

25.10.2005, 18:54

Rhia

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Wenn du mir das "F" jetzt noch erklärst, denn das habe ich noch nie nie gesehen. trotz lk Augenzwinkern

den rest versteh ich und dass das F den gegenwert bezeichnet, nur wie find cih den heraus?

25.10.2005, 19:41

therisen

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Das F bedeutet lediglich folgendes:

$\begin{eqnarray*} F_p^n(k):=\sum_{i=0}^k ~ B(n;p;i) \end{eqnarray*}$

Naja, bei "Mindestens k Treffer" bildest du bei der Binomialverteilung das Gegenereignis "Höchstens k - 1" Treffer, was du leicht berechnen kannst.

PS: Hab auch nur LK Augenzwinkern

Gruß, therisen

25.10.2005, 20:13

Rhia

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*seufz*
entweder hab ich nich aufgepasst, oder (was auch emine unterlagen sagen) wir hatten keine binominalverteilung.. kann man das nich anders (leichter) aufschreiben, so dass auhc ich sowas verstehe? Augenzwinkern

so, dass unterm bruchstrich einfach 6561 steht?

Habe mir diese Bernoullikette im Formel-Buch angeguckt. Dazu bräcuhte ich ja die Binoinalverteilung..
$\begin{eqnarray*} P(x=k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^{k} * (1-p) ^{n-k} \end{eqnarray*}$

aber das hilft mir auch nich unglücklich

was ist denn p fürn parameter?

wprde es so sagen...
$\begin{eqnarray*} P(x=6)=\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix} p^{6} * (1-p) ^{2} \end{eqnarray*}$

brauche nur p

25.10.2005, 20:25

therisen

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Nein.

P(Z=6) bedeutet, dass du GENAU 6 Treffer hast. Nicht mehr und nicht weniger.

p ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (hier das richtige Ankreuzen einer Frage p=1/3)

Naja, du kannst die Aufgabe auch ohne explizite Kenntnis der Bernoulli-Ketten lösen, die Formel ist ja nicht schwierig herzuleiten bzw. zu verstehen.

Gruß, therisen

25.10.2005, 20:55

Rhia

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problem ist nur, dass ich

nicht kapiere..
geht das nich ohne den kram?

25.10.2005, 21:02

therisen

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Zitat:

Original von Rhia
problem ist nur, dass ich

nicht kapiere..
geht das nich ohne den kram?

$\begin{eqnarray*} F_p^n(k):=\sum_{i=0}^k ~ B(n;p;i)=B(n;p;0) + \ldots + B(n;p;k)={n \choose 0} p^0 q^{n-0}+ \ldots + {n \choose k} p^k q^{n-k} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} q:=1-p \end{eqnarray*}$

Also die Summe von P(Z=0)+P(Z=1)+...+P(Z=k), d.h. die Wahrscheinlichkeit von genau 0, genau 1, ..., genau k Treffern = die Wahrscheinlichkeit von höchstens k Treffern (logisch oder?)

Verstanden?

Gruß, therisen

25.10.2005, 21:26

Rhia

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hm, ja, schon. aber..
Gibts da ncih was kürzeres, wenn man den kram nich kann?

25.10.2005, 23:43

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In der Sache nicht; in der Darstellung vielleicht.

26.10.2005, 07:09

Leopold

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Du kannst das Ganze auch mit Laplace lösen.

Für die acht Antworten stellen wir acht Stellen zur Verfügung

$\begin{eqnarray*} \omega=(a_1|a_2|a_3|a_4|a_5|a_6|a_7|a_8) \end{eqnarray*}$

Wir tragen dann $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ein, wenn die Frage richtig beantwortet ist, und $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ , wenn eine der beiden falschen Antworten angekreuzt wurde. So bedeutet z.B. $\begin{eqnarray*} \omega=(f_2|f_1|f_1|r|f_1|r|r|f_2) \end{eqnarray*}$ , daß der Prüfling nur die Fragen 4,6,7 richtig beantwortet hat und bei den anderen Fragen jeweils eine der beiden falschen Antworten gegeben hat.

Für jede Stelle kommen also drei Einträge in Frage: $\begin{eqnarray*} r,f_1,f_2 \end{eqnarray*}$ . Alle so aufgebauten $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ sind gleichwahrscheinlich. Also kann man mit Laplace rechnen. Wieviele verschiedene $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ gibt es denn?

für die erste Stelle: 3 Möglichkeiten
für die zweite Stelle: 3 Möglichkeiten
...
für die achte Stelle: 3 Möglichkeiten

Nach dem Multiplikationsprinzip führt das auf $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 3 \cdots 3 = 3^8 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Und das erklärt den Nenner des Lösungsbruches. Da warst du ja selber schon darauf gekommen.

Jetzt mußt du zählen, wie viele $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ es gibt, die für das Ereignis

$\begin{eqnarray*} A = \mbox{''Prüfung bestanden''} \end{eqnarray*}$

günstig sind. Diese Zahl kommt dann in den Zähler des Lösungsbruches.

Nun, der Prüfling hat bestanden, wenn er

a) alle Fragen richtig hat: $\begin{eqnarray*} (r|r|r|r|r|r|r|r) \end{eqnarray*}$

oder

b) alle Fragen bis auf eine richtig hat, z.B. $\begin{eqnarray*} (r|r|r|r|r|f_2|r|r), (r|f_1|r|r|r|r|r|r) \end{eqnarray*}$

oder

c) alle Fragen bis auf zwei richtig hat, z.B. $\begin{eqnarray*} (r|r|r|f_2|r|f_2|r|r), (r|r|f_1|r|r|r|r|f_2), (f_1|f_1|r|r|r|r|r|r) \end{eqnarray*}$

Und jetzt mußt du zählen, wie viele von der Sorte a),b),c) es jeweils gibt und diese Anzahlen addieren. a) und b) sind noch relativ leicht zu berechnen, c) ist eine Idee schwerer.

edit (AD): Umlaute in \text{...} sind nicht browserkompatibel, das hatten wr schon mehrfach. Stattdessen \mbox{...} nehmen!

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