Lipschitz Stetigkeit

15.04.2008, 20:55

_Vic_

Lipschitz Stetigkeit

Hallo allerseits,

ich weiß, dass ich nicht der erste bin, der diese Frage gestellt hat, aber ich habe arge Probleme mit der Lipschitz Stetigkeit.
Hinzu kommt, dass wir in diesem Semester einen neuen Prof bekommen haben, der leider überhaupt nicht erklären kann, was zur Folge hat, dass wir alle doof wie 100m Feldweg gucken. traurig

Deshalb hoffe ich, dass ihr mir eine anschauliche Erklärung anhand einer Übungsaufgabe geben könnt.

Zuerst mal die Aufgabenstellung:
Geben Sie ein Intervall und eine Lipschitz-Konstante L mit dem die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ Lipschitz-stetig ist.

Ich bin vorerst soweit gekommen:
$\begin{eqnarray*} |f(x_{2})-f(x_{1})| \leq L|x_{2}-x_{1}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{x_{2}^2}-\frac{1}{x_{1}^2}| \leq L|x_{2}-x_{1}| \end{eqnarray*}$
Hier bin ich mir nicht mehr ganz sicher, ob das erlaubt ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{|x_{1}-x_{2}| |x_{1}+x_{2}|}{|x_{2}^2x_{1}^2|}| \leq L|x_{2}-x_{1}| \end{eqnarray*}$

Und hier bin ich mit meinem Latein ganz am Ende...

Gruß

Vic

15.04.2008, 20:59

tmo

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bis hierhin ist es richtig. jetzt teile doch mal auf beiden seiten durch $\begin{eqnarray*} |x_1-x_2| \end{eqnarray*}$ .

Sollst du irgendein Intervall wählen? Dann biete ich dir mal $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ an.

16.04.2008, 14:03

_Vic_

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Ah gut,
das habe ich mir schon fast gedacht.

Gibt's einen Grund, warum du die Grenze $\begin{eqnarray*} [1,\infty ) \end{eqnarray*}$ gewählt hast, und nicht $\begin{eqnarray*} (0,\infty ) \end{eqnarray*}$ ? Wie gesagt, unser Prof hat dazu so gut wie gar nix erzählt... Deshalb bin ich auch nicht so sicher, wie ich das ganze überhaupt interpretieren soll.

Somit müsste ich ja das herausbekommen:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}^2x_{2}^2} \mid \leq L \\\mid \frac{1}{x_{1}x_{2}^2} + \frac{1}{x_{1}^2x_{2}} \mid \leq L \end{eqnarray*}$

Jetzt sehe ich, dass mit einem immer kleiner werdenden x auch die Steigung immer größer wird.

16.04.2008, 18:03

tmo

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Zitat:

Original von _Vic_
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{1}{x_{1}x_{2}^2} + \frac{1}{x_{1}^2x_{2}} \mid \leq L \end{eqnarray*}$

genau. soweit richtig. und jetzt solltest du auch sehen, warum ich $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ vorgeschlagen hab.
wie kannst du die brüche abschätzen wenn $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt?

18.04.2008, 13:31

_Vic_

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Ich vermute mal, weil für x < 1 die Steigung rapide zunimmt, und somit die Stetigkeit nicht mehr zutrifft? Kann das sein?

Wie ist denn die Lipschitz Stetigkeit überhaupt in klar verständlichen Worten definiert?
Die formale Beschreibung hab ich schon gesehen, aber die ist meiner Meinung überhaupt nicht wirklich verständlich...

18.04.2008, 13:41

tmo

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Zitat:

Original von _Vic_
Wie ist denn die Lipschitz Stetigkeit überhaupt in klar verständlichen Worten definiert?
Die formale Beschreibung hab ich schon gesehen, aber die ist meiner Meinung überhaupt nicht wirklich verständlich...

Falls du dir was drunter vorstellen willst:

Eine Funktion ist in einem Intervall Lipschitzstetig, wenn die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten dieses Intervalls nicht unendlich groß werden kann.

Das ist aber alles andere als eine Defintion. Deswegen kann man auch mit dieser Vorstellung nichts beweisen, dazu brauch man eben die Defintion, an der eigentlich nichts unverständlich ist.

18.04.2008, 13:42

Klappergrasmuecke

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Die Funktion ist auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ lipschitz-stetig, wenn du eine Konstante $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ angeben kannst, sodass die Ungleichung (die du ja bisher äquivalent umgeformt hast) für alle $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \in [1,\infty) \end{eqnarray*}$ gilt. Und wenn für alle $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ gilt, dass sie $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ sind, dann wird der linke Term deiner zulezt angegebenen Ungleichung am größten für $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=1 \end{eqnarray*}$ (ist denke ich klar: Brüche werden größer wenn die Nenner kleiner werden.). Und wenn du das einsetzt springt dich die Lipschitzkonstante $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ , die du wählen kannst förmlich an Augenzwinkern

EDIT: @tmo: hoffe du bist nicht böse, dass ich mich eingemischt habe. dein vorletzter beitrag war vom 16.4. und den letzten hatte ich beim schreiben noch nicht gesehen.

18.04.2008, 14:26

_Vic_

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Danke euch beiden damit kann ich was anfangen.

Unverständlich ist auch wieder eine reine Definitionssache Augenzwinkern

Was bringt es mir, wenn etwas exakt auf arabisch definiert wurde, aber ich die Sprache nicht einwandfrei lesen kann ^^

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