Weitervererbung: Normalteiler

25.10.2005, 19:01

Sunshine777

Weitervererbung: Normalteiler

Huhu.
Habe hier so eine doofe Aufgabe, mit der ich nicht wirklich klar komme. Ich stell sie einfach:
zu zeigen:
Ist N ein zyklischer Normalteiler der Gruppe G, so ist jede Untergruppe U von N ein Normalteiler von G.
Denke das hängt mit dem zyklisch sein zusammen, wenn man die Voraussetzung weglässt so findet man in A4 ein Gegenbeispiel.
Kann das in anderen Worten ausdrücken:
$\begin{eqnarray*} gN = Ng (\forall g \in G)<br /> \Rightarrow gU = Ug (\forall g \in G)<br /> \end{eqnarray*}$
Hat jemand ne zündende Idee?
Danke schon mal...

25.10.2005, 19:36

irre.flexiv

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} gN = Ng (\forall g \in G)<br /> \Rightarrow gU = Ug (\forall g \in G)<br /> \end{eqnarray*}$

Da steckt ja gar nicht drin das N zyklisch ist und auch nicht das U eine Untergruppe von N ist.*g

Überleg dir als erstes wie die Stuktur einer Untergruppe von N aussieht.

26.10.2005, 01:41

Sunshine777

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ja, muss zugeben , das letzte von mir war nicht so doll.
N zyklisch <=> N = {n^0, n^1, .... , n^k}, d.h. die k elementige Gruppe wird von n erzeugt, also N = < {n} >
Was ich mir sonst noch so überlegt habe:
N zyklische Untergruppe => U zyklische Untergruppe => U normal in N...,d.h.
nU = Un für alle n aus N...bloss was ist dann für g aus G mit g nicht aus N ?
Lg Sunshine777

26.10.2005, 18:42

irre.flexiv

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Puh das war schwerer als geplant *g
Jedenfalls seh ich nicht wie es einfacher gehen könnte.

$\begin{eqnarray*} <n> = N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Ord(U) = b < Ord(n) \end{eqnarray*}$ sonst wäre $\begin{eqnarray*} U=N \end{eqnarray*}$

Es gibt ein $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} <n^k> = U \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} g \in G, u \in U \end{eqnarray*}$ . Da N Normalteiler in G ist gibt es ein $\begin{eqnarray*} u' \in N \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} gu = u'g \end{eqnarray*}$ ist. Zu zeigen ist das $\begin{eqnarray*} u' \in U \end{eqnarray*}$ ist.

Nun werden u und u' umgeschrieben.

$\begin{eqnarray*} g(n^k)^t = n^l g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(n^k)^t g^{-1} = n^{sk+r} \end{eqnarray*}$

(Aus r=0 folgt $\begin{eqnarray*} n^{sk} = (n^k)^s \in U \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} (g(n^k)^t g^{-1})^b = (n^{sk+r})^b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g((n^k)^b)^t g^{-1} = ((n^k)^b)^s (n^r)^b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e = (n^r)^b = (n^b)^r \end{eqnarray*}$

Da b < Ord(n) kann n^b nicht das neutrale Element sein -> r=0.

Ist nicht 100% sauber aufgeschrieben, aber man sieht wie es geht.

Edit: Mist das klappt doch nicht, denn r*b könnte ja Ord(n) sein unglücklich

Edit 2: Ok es stimmt doch s ist ja so gewählt das r < k, dann ist rb<rk .
Weil $\begin{eqnarray*} n^a = n^{kb} = e \end{eqnarray*}$ folgt a = kb > rb. smile

26.10.2005, 22:44

Sunshine777

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hm eine frage noch, warum ist (n^b)^r = e. daran scheitert es gerade bei mir...

27.10.2005, 00:22

irre.flexiv

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Das folgt doch aus der Gleichung davor.

$\begin{eqnarray*} g((n^k)^b)^t g^{-1} = ((n^k)^b)^s (n^r)^b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(e)^t g^{-1} = (e)^s (n^r)^b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} gg^{-1} = (n^r)^b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e = (n^r)^b \end{eqnarray*}$

Oder meinst du was anderes?

27.10.2005, 06:09

Sunshine777

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sind das alles äquivalenzumformungen?

27.10.2005, 17:30

irre.flexiv

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Ja zwischen den Gleichungen steht jeweils ein $\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ .
So wie es aus sieht kannst du es noch nicht ganz nachvollziehen.
Wo genau hängts denn?

27.10.2005, 20:49

Sunshine777

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doch habs nun in einer ruhigen stunde angesehen, habs denke ich verstanden...danke vielmals :flower:

13.12.2005, 19:02

stranger

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Der Beweis beschränkt sich aber auf Untergruppen endlicher Normalteiler. Das steht aber nicht in den Voraussetzungen, oder?

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