Stetigkeit mit epsilon-delta beweisen

26.10.2005, 00:16

Poldi

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Stetigkeit mit epsilon-delta beweisen

Hallo Ihr Lieben!

Neues Thema - altes Leid:
Wenn es in einer Aufgabe was abzuschätzen gibt, komme ich nicht klar!

Ich soll mit $\begin{eqnarray*} \epsilon - \delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ in jedem Punkt $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Ich weiß, dass ich ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ finden muss, so dass $\begin{eqnarray*} \mid x - a \mid < \delta \Rightarrow \mid x^2 - a^2 \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Ich hab jetzt mal gedacht, dass ja $\begin{eqnarray*} \mid x^2 - a^2 \mid = \mid x-a \mid \cdot \mid x + a \mid \end{eqnarray*}$ und dann wäre für $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{ \epsilon }{ \mid x + a \mid } \end{eqnarray*}$ die Folgerung erfüllt.

Dass $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und a abhängt ist ja normal, aber darf es denn auch noch von x abhängen??? Das scheint mir irgendwie nicht ganz richtig!
Wäre nett, wenn Ihr mir dazu etwas sagen könntet.

Gruß
Poldi

26.10.2005, 06:47

Egal

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Eine Abhängigkeit von x ist auch normal.

26.10.2005, 08:55

n!

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Wenn man einen bestimmten Satz bereits bewiesen hat,dann könnte man das Problem mit der Abschätzung hier auch umgehen.

Man beweist einfach die Stetigkeit von f(x)=x (wähle einfach Delta=Epsilon)

dann nimmt man nochmals g(x)=x

und mit f,g stetig, ist auch f*g=x*x=x² stetig.

Nur mal als Alternative

26.10.2005, 11:12

Poldi

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Wenn ich's mir recht überlege, hätte ich mir viel Arbeit sparen können, wenn ich erstmal nur die Frage nach der Abhängigkeit von x ohne die ganze Aufgabe gestellt hätte ....

Hat sich aber trotzdem gelohnt, weil Ihr Euch immer so viel Mühe macht und sogar noch Alternativen aufschreibt!!! Riesig!!!

Tausend Dank Euch beiden! Mit Zunge

Mit Zunge

Poldi

26.10.2005, 23:23

Mathespezialschüler

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Nein, von x darf es nicht abhängen, x ist ja die laufende Variable!! Wir untersuchen die Stetigkeit im Punkt a, d.h. es darf von a abhängen, aber nicht von x (wie auch, x ist ja nicht fest).

Gruß MSS

27.10.2005, 08:00

Poldi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Nein, von x darf es nicht abhängen
Gruß MSS

Das ist sooo gemein!

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
(wie auch, x ist ja fest).

Wie jetzt! x ist doch nicht fest?! Es läuft doch?! Wahrscheinlich hast Du nur das "nicht" vergessen!?? Dann macht die Aussage auch merh Sinn für mich. Falls nicht, wär's nett, wenn Du's mir erklärst.

Ähm! Das bringt mich jetzt aber wieder zu meinem Ausgangsproblem zurück. Ich hab nämlich keine Idee, wie ich $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ denn sonst wählen kann. Wie bringe ich denn das x da raus?! Die Alternative von n! finde ich sehr praktisch, aber den Satz darf ich noch nicht benutzen!

Gruß
Poldi

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27.10.2005, 11:36

n!

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ok,MSS hat vollkommen recht.Wir haben das zu schnell abeghakt.

Also: Die Stetigkeit besagt,dass du ein Delta findest,das in einer bestimmten Umgebung diese Ungleichungen erfüllt.

Das heißt: Bist du in einer anderen Umgebung,brauchst du eventuell ein anderes Delta,weil das ehemalige Delta in der neuen Umgebung diese Ungleichungen nicht mehr erfüllen muss.

(Nur bei der gleichmäßigen Stetigkeit hat man ein Delta,was für alle x funktioniert)

Wenn du diesen Satz von mir nicht bewiesen hast,dann wird es jetzt etwas umständlich.Wir müssen nun ein Delta finden:

$\begin{eqnarray*} |x^2-a^2|\leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Versuche den linken Teil so zu erweitern,dass du die 2. Binomische Formel anwenden kannst

27.10.2005, 13:29

Poldi

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Jetzt tun sich gleich mehrere Fragen auf:

Zitat:

Original von n!
Das heißt: Bist du in einer anderen Umgebung,brauchst du eventuell ein anderes Delta,weil das ehemalige Delta in der neuen Umgebung diese Ungleichungen nicht mehr erfüllen muss.

Aber gerade dann müsste Delta doch von x abhängen, oder?! Denn:
Andere Umgebung => anderes x => anderes Delta bedeutet doch das delta von x abhängt verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von n!
$\begin{eqnarray*} |x^2-a^2|\leq \epsilon \end{eqnarray*}$ Versuche den linken Teil so zu erweitern,dass du die 2. Binomische Formel anwenden kannst

Meinst Du vielleicht $\begin{eqnarray*} |(x-a)^2 + 2xa|\leq \epsilon \end{eqnarray*}$ ?

Und dann?
Mein Problem ist vor allem, dass ich gar nicht weiß, wo ich mit dem Term denn überhaupt hin will? Versuche ich den zu vergrößern oder zu verkleinern? Und soll er dann am Ende noch größer oder kleiner als $\begin{eqnarray*} \mid x - a \mid \end{eqnarray*}$ sein??

Wenn ich Ihn verkleinern würde und er dann immernoch größer bleibt als $\begin{eqnarray*} \mid x - a \mid \end{eqnarray*}$ , dann könnte ich doch einfach Delta = Epsilon wählen, oder?!

Allerdings gelingt mir das nicht, denn

$\begin{eqnarray*} |(x-a)^2 + 2xa|>|(x-a)^2 | >|(x-a) |> \leq \epsilon = \delta \end{eqnarray*}$
würde mir sehr gut in den Kram passen, stimmt aber doch direkt im ersten Schritt nicht, wenn z.B a negativ ist.

27.10.2005, 13:41

n!

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Poldi

Ja,das Delta hängt von x ab, aber nur von der Anschaaung her.In der Ungleichung nicht.Der Betrag spiegelt eine Distanz auf der x-Achse wieder,die kleiner als Delta sein soll.Natürlich kannst du dann nicht noch x mit dem Delta verknüpfen.

Die Anschaaung besagt: Wenn du eine andere Distanz auf der x-Achse wählst,dann brauchst du ein anderes Delta.Das heißt,wenn die Distanz die x-Achse durchläuft,kann es sein,das du ein andere Delta brauchst.Das meint man mit "Delta hängt von x ab"

also hier mal ein kleiner Anschubser (Binomische Formel):

$\begin{eqnarray*} |x^2-a^2|=|(x-a)^2+2a(x-a)| \end{eqnarray*}$

Jetzt die Dreicksungleichung verwenden,dann (x-a) ausklammern und schließlich geeignet abschätzen

27.10.2005, 15:09

Poldi

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Zitat:

Original von Poldi
$\begin{eqnarray*} |(x-a)^2 + 2xa|>|(x-a)^2 | >|(x-a) |> \leq \epsilon = \delta \end{eqnarray*}$

Oh Gott! Da hab ich aber eben ganz großen Mist geschrieben - das vergessen wir mal ganz schnell wieder und meine 2. binomische Formel ebenso!!!! Sorry, da stand ich wohl neben mir!

Also ich komme mit Deinem Anstubser so weit:

$\begin{eqnarray*} \mid x^2 - a^2 \mid = \mid (x-a)^2 +2a(x-a) \mid \leq \mid x-a \mid^2 + \mid 2a(x-a) \mid = \mid x-a \mid( \mid x-a \mid + \mid 2a \mid) < \epsilon \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von n!
... und schließlich geeignet abschätzen

Da ist es wieder - das böse Wort! Ich kapier das einfach nicht.
Vielleicht kann jemand mal für ganz Blöde erklären, was genau man dabei eigentlich tut!

Damit Ihr wisst, was ich verstehe und was nicht: Wenn in der Klammer nur noch $\begin{eqnarray*} \mid 2a \mid \end{eqnarray*}$ stünde, würde ich einfach dadurch teilen und dann also $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{ \epsilon}{2a} \end{eqnarray*}$ setzen.
Aber so wie's da jetzt steht hab ich schon wieder (!) das x noch mit drin und weiß nicht wie ich's weg bekomme.

Übirgens hab ich das mit der "Abhängigkeit von x" so einigermaßen verstanden - glaube ich! Jednefalls ist mir jetzt klar, dass Delta nicht (rechnerisch) von x abhängen darf!

27.10.2005, 17:58

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Poldi

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
(wie auch, x ist ja fest).

Wie jetzt! x ist doch nicht fest?! Es läuft doch?! Wahrscheinlich hast Du nur das "nicht" vergessen!?? Dann macht die Aussage auch merh Sinn für mich. Falls nicht, wär's nett, wenn Du's mir erklärst.

Ja, sorry. Ich hab einfach das "nicht" vergessen. Ich hab es jetzt hinzugefügt.

Zitat:

Original von n!
Also: Die Stetigkeit besagt,dass du ein Delta findest,das in einer bestimmten Umgebung diese Ungleichungen erfüllt.

Das heißt: Bist du in einer anderen Umgebung,brauchst du eventuell ein anderes Delta,weil das ehemalige Delta in der neuen Umgebung diese Ungleichungen nicht mehr erfüllen muss.

(Nur bei der gleichmäßigen Stetigkeit hat man ein Delta,was für alle x funktioniert)

Sorry, aber diese Formulierungen sind sehr ungenau. Ich hab wirklich keine Ahnung, was du meinst. Um welche Umgebungen geht es denn? Umgebung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ oder wovon? Und mit welcher Länge, vll $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von n!
Ja,das Delta hängt von x ab, aber nur von der Anschaaung her.In der Ungleichung nicht.Der Betrag spiegelt eine Distanz auf der x-Achse wieder,die kleiner als Delta sein soll.Natürlich kannst du dann nicht noch x mit dem Delta verknüpfen.

Nein, das ist nun mMn ganz falsch. Wenn etwas in der Anschauung von etwas anderem abhängt, dann auch in der mathematischen Schreibweise und umgekehrt. Entweder man hat eine Abhängigkeit in der Anschauung und im Geschriebenen oder nicht. Aber dass bei einem eine Abhängigkeit zu sehen sei, bei dem anderen nicht, ist quatsch.

Zitat:

Original von n!
Die Anschaaung besagt: Wenn du eine andere Distanz auf der x-Achse wählst,dann brauchst du ein anderes Delta.Das heißt,wenn die Distanz die x-Achse durchläuft,kann es sein,das du ein andere Delta brauchst.Das meint man mit "Delta hängt von x ab"

Ok, hier sind sehr viele Formulierungsfehler drin. Zunächst einmal hängen die Distanz von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auf der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ab und nicht umgekehrt, wie es in deinem ersten Satz scheint. Was du da meinst, ist mir vollkommen unklar. Gleiches gilt für das erste Zitat oben. Und wie soll bitte eine Distanz eine $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse durchlaufen? Es ist diesmal nicht nur so, dass es fachsprachlich falsch ist, sondern dass es sogar so schlecht formuliert ist, dass ich nicht weiß, was du meinst. unglücklich

unglücklich

Und nochmals: Für ein festes $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gar nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängen, weil $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ keine feste Zahl ist. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist doch zunächst eine beliebige reelle Zahl! Vielmehr ist es so, dass die einzige Bedingung, die wir haben, $\begin{eqnarray*} |x-a|<\delta \end{eqnarray*}$ ist. Und das ist dann eine Einschränkung für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die wir nach der Wahl von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ bekommen, und selbst das würde ich nicht als Abhängigkeit bezeichnen.

Zur Aufgabe selbst übrigens:
Ich würde es so machen: Für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ kriegst du es ganz einfach hin. Und für $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x\in\langle 0,2a\rangle=[\min\{0,2a\},\max\{0,2a\}] \end{eqnarray*}$ gilt dann

$\begin{eqnarray*} |x^2-a^2|=|x-a||x+a|\leq |x-a|(|x|+|a|)\leq |x-a|(2|a|+|a|)=3|a||x-a| \end{eqnarray*}$ .

Versuche jetzt mal selbst zu gegebenem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein solches $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ zu finden!

Gruß MSS

27.10.2005, 19:51

n!

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Wenn man sagen wir auf [0;2] die Stetigkeit untersuchen soll und findet nach Vorgabe von Epsilon ein Delta.Dann kann es doch sein,dass man ein anderes Delta braucht wenn man auf [3;6] die Stetigkeit untersucht oder?

27.10.2005, 21:49

Mathespezialschüler

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@n!
Das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ hat doch nichts mit dem Intervall zu tun! Zumindest nicht direkt! Es geht doch hier zunächst um Punkte von $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ , z.B. den Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ stetig ist, bedeutet doch, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in jedem Punkt $\begin{eqnarray*} a\in [0,2] \end{eqnarray*}$ stetig ist. Und jetzt ist es so, dass man für $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=1,5 \end{eqnarray*}$ z.B. verschiedene $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ hat. Das hat aber absolut nichts mit dem Definitionsbereich zu tun.
Richtig wäre das mit den Intervallen bei gleichmäßiger Stetigkeit, da bezieht sich das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ja auf ganz $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} [3,6] \end{eqnarray*}$ kann das dann natürlich ein anderes sein.

Gruß MSS

28.10.2005, 09:49

Poldi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ kriegst du es ganz einfach hin.

Äh - ja! Da kann ich $\begin{eqnarray*} \delta = \sqrt{ \varepsilon } \end{eqnarray*}$ wählen!

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Und für $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x\in\langle 0,2a\rangle=[\min\{0,2a\},\max\{0,2a\}] \end{eqnarray*}$ gilt dann

$\begin{eqnarray*} |x^2-a^2|=|x-a||x+a|\leq |x-a|(|x|+|a|)\leq |x-a|(2|a|+|a|)=3|a||x-a| \end{eqnarray*}$ .
Versuche jetzt mal selbst zu gegebenem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein solches $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ zu finden!

Da nehme ich $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\varepsilon }{3|a|} \end{eqnarray*}$ . Ich verstehe aber nicht, wieso Du das ganze für $\begin{eqnarray*} x\in\langle 0,2a\rangle=[\min\{0,2a\},\max\{0,2a\}] \end{eqnarray*}$ umgeformt hast.
Es reicht doch nicht, wenn ich für diese x ein delta finde, oder?! Oder ist das nur ein Beispiel, das mir auf die Sprünge helfen soll? Muss ich das Intervall vergrößern? Oder muss ich jetzt vielleicht noch deltas für weitere Intervalle finden, bis ich $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ abgedeckt habe? Tut mir leid, wenn ich mich so blöd anstelle, aber ich komm' da echt nicht klar mit.

28.10.2005, 18:29

Mathespezialschüler

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Nein, darum geht es doch gar nicht! Es geht doch nicht darum, dass du zu irgendwelchen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ findest, sondern darum, dass du für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ findest. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat ja zu diesem Zeitpunkt absolut noch gar keine Bedeutung. Erst nachdem du $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gewählt hast, weißt du, um welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ es geht, nämlich um alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-a|<\delta \end{eqnarray*}$ . Wie gesagt: Es hängt nicht $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab - in keinster Weise!!!! Du musst dir einfach nochmal ganz genau die Definition klar machen, vor allem die Quantoren. Also schreib es dir am besten mal wörtlich auf, um es dann ganz zu verstehen.
Dein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist übrigens nicht ganz korrekt. Wir haben uns ja auf $\begin{eqnarray*} \langle 0,2a\rangle \end{eqnarray*}$ eingeschränkt, also müssen wir auf alle Fälle auch dort drin bleiben. Das heißt:

$\begin{eqnarray*} \delta=\min\left\{\frac{\varepsilon}{3|a|},|a|\right\} \end{eqnarray*}$

Warum ich mich darauf eingeschränkt habe? Das ist eine Hilfe, weil man danach relativ einfach ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ findet, nämlich das oben angegebene.

Gruß MSS

31.10.2005, 21:43

Poldi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Erst nachdem du $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gewählt hast, weißt du, um welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ es geht, nämlich um alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-a|<\delta \end{eqnarray*}$ .

Das ist mir klar, das leuchtet ein! (immerhin etwas)
Aber hast Du nicht oben in Deinem Vorgehen x schon vor der Wahl von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ eingeschränkt???

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Dein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist übrigens nicht ganz korrekt. Wir haben uns ja auf $\begin{eqnarray*} \langle 0,2a\rangle \end{eqnarray*}$ eingeschränkt, also müssen wir auf alle Fälle auch dort drin bleiben.

Wieso müssen wir denn mit $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ dort drin bleiben, wenn wir doch x eingeschränkt haben??? Irgendwie ist das alles ziemlich verwirrend für ...

31.10.2005, 22:02

Mathespezialschüler

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Wie ich schon gesagt habe: Das Einschränken hat nichts mit dem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zu tun. Es dient nur, damit wir überhaupt abschätzen können.
Wenn wir uns zuvor auf diesen Bereich eingeschränkt haben und mit diesem Bereich auch das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ definieren, müssen wir natürlich auch das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ so wählen, dass wir in dem Bereich bleiben! Ich zeig dir mal, was passiert, wenn wir das nicht machen würden:
Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} \varepsilon=6, a=1 \end{eqnarray*}$ . Würden wir

$\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\varepsilon}{3|a|}=\frac{6}{3}=2 \end{eqnarray*}$

wählen, wir du vorgeschlagen hast, dann entseht folgendes Problem: $\begin{eqnarray*} |x-a|=|x-1|<\delta=2 \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} -1<x<3 \end{eqnarray*}$ . Für z. B. $\begin{eqnarray*} x=2,5 \end{eqnarray*}$ gilt dann aber die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} |x^2-a^2|=|x-a||x+a|\leq |x-a|(|x|+|a|)\leq |x-a|(2|a|+|a|)=3|a||x-a| \end{eqnarray*}$ ,

die für $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ so aussieht:

$\begin{eqnarray*} |x^2-1^2|=|x-1||x+1|\leq |x-1|(|x|+1)\leq |x-1|(2\cdot 1+1)=3|x-1| \end{eqnarray*}$

nicht mehr, denn es ist $\begin{eqnarray*} |2,5^2-1^2|=5,25 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} 3\cdot |2,5-1|=4,5 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

01.11.2005, 16:29

Poldi

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Hmm. So mit Zahlen ist das natürlich einleuchtend, aber ich muss noch haufenweise Aufgaben machen, damit das ganze auf den Grund meines Verstandes durchsackt.

Vielen, vielen Dank auf jeden Fall für Deine Mühe.

18.11.2009, 22:07

Confused

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Hallo,

das Epsilon Delta Kriterium scheint recht simpel zu sein, doch wenn ich es anwende, rechne ich meist nicht so weit wie an beispielen gegeben. Ich verstehe die Notwendigkeit der letzten Schritte nicht.

Z.B. (Verzeiht bitte das es etwas unüberschaubar ist, aber ich habs noch nicht so mit Latex und Office lizens ist auch schon abgelaufen)

Stetigkeit zeigen für: f(x)=x^2;

Da geh ich wie folgt vor:

|x^2 - a^2|= |(x-a)(x+a)|<delta|x+a|=epsilon.

Wieso muss man hier noch weiterrechnen, durch zwei teilen etc.?

Ich habe hier ein delta größer 0 gefunden, mit dem ich das epsilon ausdrücke, für die gilt |x-a|<delta und |f(x)-f(a)|<epsilon .

Wäre sehr dankbar für eine Erklärung

22.11.2009, 17:19

Confused

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Kann sich wirklich niemand 2min. Zeit nehmen und mir ne Antwort schreiben?

27.01.2010, 11:30

bimbo111

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weil du epsilon mit x nicht ausdrücken darfst... es muss die form durch abschätzen epsilon=delta/3a wie im beispiel sein.... bei anderen aufgaben stellungen könnte auch epsilon= delta*2a sein (z.b.) kein x benutzen!

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