Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz

16.04.2008, 09:22

newsys

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Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz

guten Morgen,

ich habe diese Aufgabe und komme an einer stelle nicht weiter...vlt kann mir jemand weiter helfen. Hier die Aufgabe:

Zeigen durch Anwendung des Satzes über monotone, beschränkte Folgen, dass die durch
$\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n(2-a_n) \end{eqnarray*}$
definierte Folge (an) konvergiert.

Ich habe so angefangen:

$\begin{eqnarray*} a_2 = \frac{15}{16} \end{eqnarray*}$

Monotonie:
Vermutung: an ist monoton steigend da $\begin{eqnarray*} \frac{15}{16}>\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
Zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} a_n\leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} a_n\leq a_n(2-a_n) \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} a_n\leq 2a_n-a_n^2 \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} 0\leq 2a_n-a_n^2-a_n \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} 0\leq a_n-a_n^2 \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} a_n^2\leq a_n \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} a_n\leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt immer $\begin{eqnarray*} a_n^2\leq a_n \end{eqnarray*}$ somit ist die Folge monoton steigend.

Beschränktheit:

Annahme: $\begin{eqnarray*} 0<a_n\leq 1 \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

n=1 => $\begin{eqnarray*} 0<a_1\leq 1 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} 0<\frac{3}{4}\leq 1 \end{eqnarray*}$
Stimmt!

Induktionschritt:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n(2-a_n)=2a_n-a_n^2=2a_n-a_n\cdot a_n\geq 2a_n-a_n=a_n>0 \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht wie ich zeigen soll das $\begin{eqnarray*} a_1\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist?????????

16.04.2008, 09:29

XXIII

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hey, $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ist doch gegeben mit $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}<1 \end{eqnarray*}$

16.04.2008, 09:34

newsys

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Sorry meinte a_n

16.04.2008, 09:37

newsys

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Ich habe einen Ansatz komme damit aber nicht weiter und zwar...
müsste man auf das kommen
$\begin{eqnarray*} a_n-a_n^2=a_n(1-a_n)\leq a_n\leq 1 \end{eqnarray*}$

16.04.2008, 09:45

klarsoweit

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz

Zitat:

Original von newsys
Für $\begin{eqnarray*} a_n\leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt immer $\begin{eqnarray*} a_n^2\leq a_n \end{eqnarray*}$ somit ist die Folge monoton steigend.

Dazu mußt du also noch a_n <= 1 zeigen.

Zitat:

Original von newsys
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n(2-a_n)=2a_n-a_n^2=2a_n-a_n\cdot a_n\geq 2a_n-a_n=a_n>0 \end{eqnarray*}$

Zeige $\begin{eqnarray*} 2a_n-a_n^2-1 \leq 0 \end{eqnarray*}$ .
Tipp: 2. binomische Formel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2008, 09:57

newsys

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
Ist denn die Zeile richtig????
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n(2-a_n)=2a_n-a_n^2=2a_n-a_n\cdot a_n\geq 2a_n-a_n=a_n>0 \end{eqnarray*}$

Wie kommt man denn darauf? Kann man das direkt aus a_n+1 ableiten?
$\begin{eqnarray*} 2a_n-a_n^2-1 \leq 0 \end{eqnarray*}$ ?????

Also auflösen:
$\begin{eqnarray*} 2a_n-a_n^2-1 \leq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n^2-2a-n+1\leq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a_n-1)^2\leq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n-1\leq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n\leq 1 \end{eqnarray*}$

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16.04.2008, 10:12

klarsoweit

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz

Zitat:

Original von newsys
Ist denn die Zeile richtig????
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n(2-a_n)=2a_n-a_n^2=2a_n-a_n\cdot a_n\geq 2a_n-a_n=a_n>0 \end{eqnarray*}$

Die Frage ist eher, was du denn nun zeigen willst, $\begin{eqnarray*} a_n>0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_n \leq 1 \end{eqnarray*}$ ? Wie dem auch sei, deine Rechnung bringt dich nicht wirklich weiter.

Zitat:

Original von newsys
Wie kommt man denn darauf? Kann man das direkt aus a_n+1 ableiten?
$\begin{eqnarray*} 2a_n-a_n^2-1 \leq 0 \end{eqnarray*}$ ?????

Ich bin mal davon ausgegangen, daß du $\begin{eqnarray*} a_n \leq 1 \end{eqnarray*}$ zeigen willst. Für den Induktionsschluß bedeutet das, daß du $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 2a_n-a_n^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$ bzw. eben $\begin{eqnarray*} 2a_n-a_n^2-1 \leq 0 \end{eqnarray*}$ zeigen mußt.

Zitat:

Original von newsys
$\begin{eqnarray*} a_n^2-2a-n+1\leq 0 \end{eqnarray*}$

Hää?

verwirrt

16.04.2008, 10:22

newsys

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
Naja ich will/muss ja beides zeigen
$\begin{eqnarray*} 0<a_n\leq 1 \end{eqnarray*}$

Hab mich vertippt
$\begin{eqnarray*} a_n^2-2a_n+1\leq 0 \end{eqnarray*}$

Aber dann habe ich ja beides gezeigt. Danke

16.04.2008, 10:31

klarsoweit

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz

Zitat:

Original von newsys
Aber dann habe ich ja beides gezeigt. Danke

Nein, du hast bislang gar nichts gezeigt, weil dein Beweis für a_n <= 1 falsch ist. Im übrigen brauchst du nur zeigen daß a_n nach oben beschränkt ist.

16.04.2008, 10:33

newsys

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
Wie beweise ich denn a_n <= 1 ????

16.04.2008, 10:33

XXIII

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
für $\begin{eqnarray*} a_{n}=1 \end{eqnarray*}$ gilt //hab das a_{n-1} entfernt, das hat nur verwirrt

$\begin{eqnarray*} 2a_n-a_n^2=1 \end{eqnarray*}$

also sieht man schonmal, dass bei eins sich nix weiter erhöht

für $\begin{eqnarray*} a_{n-1}=1-\epsilon_1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} a_n=2a_{n-1}-a_{n-1}^2=2-2\epsilon_1 -1+2\epsilon_1-2\epsilon_1^2=1-2\epsilon_1^2=1-\epsilon_2 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \epsilon_2=\epsilon_1^2 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 1> \epsilon_i >0 \end{eqnarray*}$

16.04.2008, 10:38

newsys

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
warum denn auf einmal a_n-1??????
$\begin{eqnarray*} a_{n-1}=1 \end{eqnarray*}$

16.04.2008, 10:42

XXIII

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
na is doch egal ob man

$\begin{eqnarray*} a_n=a_{n-1}(2-a_{n-1}) \;\;\;oder\;\;\;a_{n+1}=a_n(2-a_n) \end{eqnarray*}$

betrachtet

16.04.2008, 10:48

newsys

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
Ok. Aber man hat uns gesagt, dass man das mit a_n+1 lösen soll - genauer das man das durch umformen von a_n+1 lösen soll....

Irgendiwe bin ich jetzt total verwirrt.

16.04.2008, 10:55

XXIII

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
na dann schreib meine idee ab und schreib immer da wo $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ steht $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ hin und dort wo bei mir $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ steht schreibste $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$

das sind nur indizierungen und es is völlig egal wierum man die betrachtet.
hast du den rest verstanden, also das mitn epsilon?

16.04.2008, 10:56

klarsoweit

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
Vielleicht solltest du mehr auf deine Ansätze schauen, die ja vom Grundgedanken ja nicht so falsch waren. Da mußt du nur noch mit vollständiger Induktion zeigen, daß $\begin{eqnarray*} a_n \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist.

16.04.2008, 11:33

XXIII

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
na das ergibt sich doch daraus:

wir haben (induktionsanfang) $\begin{eqnarray*} a_1=\frac{3}{4}=1-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

also ist $\begin{eqnarray*} \epsilon_1=1/4 \end{eqnarray*}$

weiter $\begin{eqnarray*} a_2=1-(\frac{1}{4})^2 \end{eqnarray*}$ usw.

und somit $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=1-\epsilon_n^2<1 \end{eqnarray*}$

achso, ja, ich hatte nen tippfehler drin und den mitgeschleppt *erschrocken feststellt*,
nochmal langsam (induktionsschritt):

also wir haben $\begin{eqnarray*} a_n=1-\epsilon_n \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n(2-a_n)=2a_n-a_n^2=2(1-\epsilon_n)-(1-\epsilon_n)^2 \end{eqnarray*}$

und das ist ja jetzt $\begin{eqnarray*} 2-2\epsilon_n -(1^2-2\epsilon_n+\epsilon_n^2) \end{eqnarray*}$

jetzt hebt sich alles weg ausser $\begin{eqnarray*} 1-\epsilon_n^2=a_{n+1} \end{eqnarray*}$

somit gilt $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=1-(\epsilon_1)^{2n} \end{eqnarray*}$

16.04.2008, 11:56

klarsoweit

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
Den Beweis sollte ja auch eigentlich newsys machen. Die Rechnung mit dem epsilon kann man machen, geht aber auch ohne.

16.04.2008, 12:04

XXIII

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
@klarsoweit: sorry, dachte du meinst mich

jor, ohne eps wirds aber nimmer ganz so leicht oder?

16.04.2008, 12:05

klarsoweit

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
Eigentlich ganz simpel, den Ansatz hatte ich ja schon gezeigt.

16.04.2008, 12:11

XXIII

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
jor, stimmt smile

smile

16.04.2008, 17:12

newsys

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
ok das mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ sehe ich ein.

Kannst du mir die stelle von

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=2a_{n}-a_{n}^2=2-2\epsilon_1 -1+2\epsilon_1-2\epsilon_1^2 \end{eqnarray*}$

nochmal erklären.

und warum kann man das darauf schließen $\begin{eqnarray*} 1>\epsilon_1>0 \end{eqnarray*}$ ????
Müsste es nicht $\begin{eqnarray*} 1\geq\epsilon_1>0 \end{eqnarray*}$ lauten?

17.04.2008, 08:47

klarsoweit

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RE: Beschränktheit u Monotonie->Konvergenz
Darum geht es doch eigentlich gar nicht. Du willst doch per vollständiger Induktion zeigen, daß a_n <= 1 ist.

Für n=1 stimmt das.
Wenn nun laut Induktionsannahme a_n <= 1 ist, dann gibt es ein epsilon >= 0 mit $\begin{eqnarray*} a_n = 1 - \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 2a_n - a_n^2 = 2 - 2\epsilon - (1-\epsilon)^2 = 1 -\epsilon^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Und fertig ist der Induktionsbeweis. smile

smile

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