Hilfe bei Betragsgleichung

26.10.2005, 21:47	Nero	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe bei Betragsgleichung Hallo Ich verzweifle seit 3 Tagen an folgender Betragsgleichung: $\begin{eqnarray} \mid x+1 \mid = \mid x-2 \mid + \mid x \mid \end{eqnarray}$ Ich weiß einfach nicht wie ich diese Gleichung mit Fallunterscheidung löse. Zwar habe ich hier im Forum schon zum Thema "Betragsgleichung" Informationen gesucht, aber nichts gefunden. Bitte helft mir. mfg Nero
26.10.2005, 22:12	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, zunächst einmal musst du die Kombinationen der Fälle $\begin{eqnarray} x \leq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x + 1 \leq 0~\Lra~x \leq -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x + 1 > 0~\Lra~x > -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x - 2 \leq 0~\Lra x \leq 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x - 2 > 0~\Lra x > 2 \end{eqnarray}$ unterscheiden, das macht $\begin{eqnarray} 2^3=8 \end{eqnarray}$ Fallunterscheidungen: $\begin{eqnarray} x \leq 0 \wedge x \leq -1 \wedge x \leq 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \leq 0 \wedge x \leq -1 \wedge x > 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \leq 0 \wedge x > -1 \wedge x \leq 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \leq 0 \wedge x > -1 \wedge x > 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x > 0 \wedge x \leq -1 \wedge x \leq 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x > 0 \wedge x \leq -1 \wedge x > 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x > 0 \wedge x > -1 \wedge x \leq 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x > 0 \wedge x > -1 \wedge x > 2 \end{eqnarray}$ Von diesen kannst du aber einige ausschließen und einige zusammenlegen. Beispielsweise hat die Kombination $\begin{eqnarray} x \leq 0 \wedge x > 2 \end{eqnarray}$ keine Lösung und $\begin{eqnarray} x \leq 0 \wedge x \leq -1 \end{eqnarray}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray} x \leq -1 \end{eqnarray}$ . Fasse mal die obigen 8 Fälle zusammen bzw. streiche sie. [edit]Hab den Fall der Gleichheit vergessen und einen Betrag falsch abgeschrieben gehabt...[/edit]
26.10.2005, 22:40	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
das mit den 8 Fallunterscheidungen stimmt zwar, aber ist viel zu umständlich... du hast drei Beträge... jetzt musst du dir die kritischen Stellen raussuchen... das sind die Stellen an denen ein Betrag vom positiven ins negative wechselt. für \|x\| ist das am leichtesten - nämlich dann wenn x<0 ist. bei \|x +1\| ist die kritische Stelle x<-1. bei \|x - 2\| ist die kritische Stelle x < 2. Wenn es dir hilft kannst du jetzt auf einem Zahlenstrahl einmal alle Stellen einzeichen... du weißt ja, dass bei jeder dieser Stellen sich etwas in der Gleichung ändert... - deswegen untersuchst du immer das Intervall zwischen zwei nebeneinander liegenden Stellen. -1 liegt am weitestens links auf dem Zahlenstrahl... d.h. du untersuchst als erstes die gesamte Gleichung für x < -1. Jetzt musst du dir überlegen was bei x < -1 passiert. \|x\| wird negativ wenn x<0. das heißt bei x< -1 ist es auf jeden fall auch negativ. - deswegen schreibst du für \|x\| = - (x). als nächstes \|x+1\| wird negativ wenn x < -1. Weil x < -1 ist wird aus \|x + 1\| = -(x+1) = -x-1. ( auf die Klammern achten! ) aus \|x-2\| wird logischerweise -(x-2) = x+2. Mit diesen "aufgelösten" Beträgen schreibst du jetzt deine Gleichung wieder auf: -(x+1)= -(x-2) + (-x) -x -1 = -x -2 -x 1= -x x= -1. das ist aber noch nicht die Lösung. du musst jetzt untersuchen in welchem Intervall du gerechnet hast und das war ja x < -1. Also kann x=-1 keine Lösung sein. Fällt einfach weg. jetzt musst du dir das nächste Intervall nehmen... -1 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ x < 0. jetzt siehst du dir wieder an, was mit den Beträgen passiert... \|x\| ist immer noch negativ => -(x) \|x+1\| ist jetzt mindestens Null also positiv => x+1 \|x-2\| ist immer noch negativ => -(x-2) also immer wenn der Betrag in dem Intervall negativ ist setzt du alles im Betrag in Klammern und ein minus davor - ansonsten alles in Klammern und ein Plus davor. die Gleichung aufstellen: x+1= -(x-2) + (-x) x+1= -x-2-x -3 = -3x x=1 Intervall angucken: -1 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ x < 0 => 1 passt auch nicht als Lösung. gut - für die letzten beiden Intervalle: 0 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ x < 2 und x $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 2 kannste es jetzt hoffentlich selbst
26.10.2005, 22:51	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Unsere Verfahren sind äquivalent, jedoch halte ich meines für systematischer und deshalb weniger fehleranfällig.
27.10.2005, 20:31	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, im Endeffekt machst du das gleiche wie ich, nur etwas systematischer... - hauptsache beides führt zum weg...
31.10.2005, 21:49	Nero	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure Hilfe! Habs jetzt ungefähr gecheckt ... mfg Nero
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