Funktionsterm ableiten - HILFE

16.04.2008, 11:47

systa

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Funktionsterm ableiten - HILFE

Hallo Leute,

ich habe folgenden Funktionsterm und hab echt keinen Plan wie ich den nun ableiten soll.
Ihr müsst mir natürlich nicht alles gleich vorrechnen, aber vielleicht ein Anstoß welche Regeln ich hier anwenden muss, oder ob ich was besonderes bei der Funktion beachten muss...

$\begin{eqnarray*} fd(x) = \frac{1}{100} * d * x * e^{-\frac{x²}{20*d}} \end{eqnarray*}$

Ich soll allerdings nur bis zu diesem Schritt ableiten...

$\begin{eqnarray*} f'd(x) = (\frac{d}{100} - \frac{x²}{1000}) * e^{-\frac{x²}{20d}} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank und liebe Grüße,
Alex

16.04.2008, 11:48

Dual Space

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RE: Funktionsterm ableiten - HILFE
Den Parameter d kannst wie eine Konstante (also wie eine Zahl behandeln). Ansonsten solltest du mit der Produkt- und Kettenregel auskommen.

16.04.2008, 11:51

systa

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hm, super, ich kann die Regeln auch eigentlich sicher anwenden, wenn allerdings noch ein "d" und vor allem ein "e" auftreten, ist Schluss

Ich werds so schnell wie möglich ausprobieren und dann meine Lösungsansätze hier reinposten.

Trotzdem schon einmal ein herzliches Dankeschön,

Gruß,
Alex

16.04.2008, 15:40

systa

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Ich brauch leider doch Hilfestellung. Also der e Teil bleibt ja praktisch unberührt.

Wenn ich also habe:
$\begin{eqnarray*} fd(x) = \frac{1}{100} * d * x * e^{-\frac{x²}{20*d}} \end{eqnarray*}$
dann kann ich das ja auch so schreiben...
$\begin{eqnarray*} 0,01d * x * e^{-\frac{x²}{20*d}} \end{eqnarray*}$

Wenn d nun allerdings eine Konstante ist, dann fällt die ja einfach bei der Ableitung weg, dann hab ich bei der Produktregel null.

Wäre nett mir einen Tipp zu geben

Gruß,
Alex

16.04.2008, 15:47

Mulder

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Wie hast du denn die Produktregel verwendet, bzw. was war dein u und was dein v? Betrachte die Funktion am besten so:

$\begin{eqnarray*} f_d(x)=\frac{d}{100}x*e^{-\frac{1}{20d}x²} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{d}{100}x \end{eqnarray*}$ dein u und $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{20d}x²} \end{eqnarray*}$ dein v. Meinst du, dass du das so mit der Produktregel hinbekommst?

16.04.2008, 15:52

systa

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Tja, ich hätte jetzt erst einmal gesagt nein, vielleicht geht das auch.
Die e Funktion reproduziert sich ja in der Ableitung.
Ich hab echt keinen Plan

Ich könnte natürlich auch $\begin{eqnarray*} \frac{d}{100} \end{eqnarray*}$ als u nehmen und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als v.

Wenn ich dann aber $\begin{eqnarray*} \frac{d}{100} \end{eqnarray*}$ ableiten will, kommt ja null raus wenn ich $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ als konstante behandeln soll?

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16.04.2008, 15:57

legorado

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Genau, deswegen sollte ja bei u(x) sowie bei v(x) jeweils x dabei sein, sonst wird das immer Null beim ableiten, also nächster Verusch:

16.04.2008, 16:00

Mulder

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Was fällt dir daran denn schwer? Lass dir doch nicht alles aus der Nase ziehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie die Produktregel aussieht, weißt du, oder?

Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=u(x) \cdot v(x) \end{eqnarray*}$ ,

dann ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \end{eqnarray*}$

Unser $\begin{eqnarray*} f_d(x) \end{eqnarray*}$ sieht so aus: $\begin{eqnarray*} f_d(x)=\frac{d}{100}x*e^{-\frac{1}{20d}x²} \end{eqnarray*}$

Dann ist hier $\begin{eqnarray*} u= \frac{d}{100}x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v= e^{-\frac{1}{20d}x²} \end{eqnarray*}$

Nun schreibe doch jetzt am besten mal hin, was $\begin{eqnarray*} u'(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(x) \end{eqnarray*}$ hier ist, sprich leite einfach mal die beiden Ausdrücke ab. Der Rest ist dann nur noch stures Einsetzen und vereinfachen.

16.04.2008, 16:00

systa

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Ich hab echt keine Idee. Soll ich denn den e-Funktion Teil erst einmal außen vor lassen oder den behandeln?
Wenn ich ihn nicht behandle, wäre schöner, aber dann scheint mir immer Null bei der Produktregel rauszukommen.
Also muss ich bereits im ersten Schritt mit der e-Funktion arbeiten?

Wenn ich also $\begin{eqnarray*} u = \frac{d}{100}x \end{eqnarray*}$

dann müsste doch $\begin{eqnarray*} u' = \frac{d}{100} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich nur noch diese doofe e funktion ableiten

16.04.2008, 16:16

Mulder

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Zitat:

dann müsste doch $\begin{eqnarray*} u' = \frac{d}{100} \end{eqnarray*}$

Ja.

smile

Nur weiter. Es fehlt nur noch die Ableitung der e-Funktion.

16.04.2008, 16:22

systa

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hm, das ist das Problem...

Wenn ich habe:
$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{20d}x²} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ habe, dann gilt doch:

[äußere Ableitung] * [innere Ableitung], daher

$\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{20d}x²} * \frac{-2x}{20d} \end{eqnarray*}$

ist das in irgendeiner form richtig oder bin ich wieder total auf dem Holzweg?

16.04.2008, 16:24

Mulder

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Alles in Ordnung. Freude

Freude

Nun schreib noch einmal sauber und komplett $\begin{eqnarray*} f'_d(x) \end{eqnarray*}$ auf und überlege dir, wie wir noch vereinfachen können. Schließlich hast du oben ja einen bestimmten Ausdruck angegeben, auf den wir noch irgendwie kommen müssen.

16.04.2008, 16:35

systa

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Na gut, also, wir haben:

$\begin{eqnarray*} f'_d(x) = [\frac{d}{100} * e^{-\frac{1}{20d}x²}] + [ \frac{d}{100}x * e^{-\frac{1}{20d}x²} * \frac{-2x}{20d}] \end{eqnarray*}$

ich hoffe das hast du gemeint. Ich muss allerdings gestehen, dass ich keinen plan hab wie es jetzt weitergeht.

16.04.2008, 16:38

Mulder

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Keine Idee? Kann man was ausklammern?

Es ist ja $\begin{eqnarray*} (a \cdot b}) + ({c \cdot b) = b(a+c) \end{eqnarray*}$ nach dem Distributivgesetz.

Siehst du hier auch so eine Möglichkeit? Und dann betrachte auch nochmal den zweiten Summanden. Da kannst du noch etwas zusammen fassen.

16.04.2008, 16:44

systa

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Nun, man könnte vielleicht:
$\begin{eqnarray*} [ \frac{d}{100}x * e^{-\frac{1}{20d}x²} * \frac{-2x}{20d}] \end{eqnarray*}$

auch so schreiben?:
$\begin{eqnarray*} [ \frac{-2x²}{2000} * e^{-\frac{1}{20d}x²} ] \end{eqnarray*}$

dann noch durch 2 teilen:

$\begin{eqnarray*} [ -\frac{x²}{1000} * e^{-\frac{1}{20d}x²} ] \end{eqnarray*}$

so... jetzt muss ich mal gucken verwirrt

verwirrt

Wir hätten dann:
$\begin{eqnarray*} f'_d(x) = [\frac{d}{100} * e^{-\frac{1}{20d}x²}] + ][ -\frac{x²}{1000} * e^{-\frac{1}{20d}x²} ] \end{eqnarray*}$

Dank deiner Formel... könnte man doch sagen:
$\begin{eqnarray*} f'_d(x) = e^{-\frac{1}{20d}}x² (\frac{d}{100} - {\frac{x²}{1000}}) \end{eqnarray*}$

Und es gilt:
$\begin{eqnarray*} f'd(x) = (\frac{d}{100} - \frac{x²}{1000}) * e^{-\frac{x²}{20d}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f'_d(x) = e^{-\frac{1}{20d}}x² (\frac{d}{100} - {\frac{x²}{1000}}) \end{eqnarray*}$

16.04.2008, 16:47

Mulder

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Ja.

smile

Und jetzt? Es fehlt noch ein Schritt, dann bist du da, wo du hinwolltest.

Edit: Ja! Das kann man hier einfach ausklammern. Warum, ist dir ja hoffentlich klar.

So, fertig! Freude

Freude

Das ist genau der Ausdruck, nach dem oben gefragt wurde.

16.04.2008, 16:51

systa

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Wir hätten dann:
$\begin{eqnarray*} f'_d(x) = [\frac{d}{100} * e^{-\frac{1}{20d}x²}] + ][ -\frac{x²}{1000} * e^{-\frac{1}{20d}x²} ] \end{eqnarray*}$

Dank deiner Formel... könnte man doch sagen:
$\begin{eqnarray*} f'_d(x) = e^{-\frac{1}{20d}}x² (\frac{d}{100} - {\frac{x²}{1000}}) \end{eqnarray*}$

Und es gilt:
$\begin{eqnarray*} f'd(x) = (\frac{d}{100} - \frac{x²}{1000}) * e^{-\frac{x²}{20d}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f'_d(x) = e^{-\frac{1}{20d}}x² (\frac{d}{100} - {\frac{x²}{1000}}) \end{eqnarray*}$

16.04.2008, 16:52

systa

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Also, ich fand die Aufgabe schwer. Ich bedanke mich wirklich recht herzlich bei dir, echt Klasse das du mich über knapp eine Stunde ertragen hast und mir geholfen hast.
Vielen lieben Dank,
Alex

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