Wie viele Nägel werden benötigt? - gaußsche Summenfunktion

27.10.2005, 15:39

aRo

Wie viele Nägel werden benötigt? - gaußsche Summenfunktion

Hallo!

Ich hoffe auf Hilfe bei folgender Aufgabe (sie ist leider diktiert und ich hoffe ich hab so alles mitgekriegt. Bin mir irgendwie jetzt unsicher mit den größer gleich etc...):

Zum Anbringen einer Holzlatte werden 72 Nägel benötigt. Diese Nägel werden in Päkchen zu je 20 Nägeln verkauft. Wie viele Pälchen muss man kaufen, damit die Nägel zu 98% reichen?
Wenn er bedenkt, dass er jeden 6.Nagel verbiegt!

Ich habe daraus folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} P(x=72) \geq 0.98 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi(\frac{72.5-5/6*n}{\sqrt{5/36*n}}) - \phi(\frac{71.5-5/6*n}{\sqrt{5/36*n}}) \geq 0.98 \end{eqnarray*}$

ich weiß nicht, wie ich jetzt an das n kommen soll. Ich wüsste es, wenn bei den beiden Phi Summanden entweder das gleich drin wär, oder das gleiche nur mit vertauschten Vorzeichen. Aber so.... verwirrt

Kann mir da jmd. auf die Sprünge helfen?

Gruß,
aRo

27.10.2005, 16:05

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Du hast schon einen Fehler im Ansatz: Er muss

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 72) \geq 0.98 \end{eqnarray*}$

lauten - denn aus den gekauften Nagelpackungen müssen mindestens 72 unverbogene Nägel rausspringen, nicht genau 72.

27.10.2005, 16:36

aRo

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RE: Wie viele Nägel werden benötigt? - gaußsche Summenfunktion
ja, das war ja die stelle wo ich gezögert habe. es stand halt im Text 72 Nägel. nicht mindestens 72 Nägel...naja. ok.

Aber dann stoße ich ja wieder auf das gleiche Problem:

$\begin{eqnarray*} \phi(\frac{71.5-5/6*n}{\sqrt{5/36*n}}) - \phi(\frac{-0.5-5/6*n}{\sqrt{5/36*n}}) \geq -0.02 \end{eqnarray*}$

Ich könnte vielleicht den letzteren Summanden weglassen, oder? Meistens ist der ja null. Aber darf ich das machen? Eigentilch lieber nicht, was? Dann stünde ich jetzt vorm gleichen Problem wie vorher auch...

Gruß,
aRo

27.10.2005, 18:49

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Was, bitteschön, soll

$\begin{eqnarray*} \phi(\frac{-0.5-5/6*n}{\sqrt{5/36*n}}) \end{eqnarray*}$

denn darstellen? Nur mal zur Erinnerung: Die Normalverteilung hier ist nur eine Approximation einer eigentlich binomialverteilten Größe.

27.10.2005, 19:05

aRo

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wat jetzt?

du verstehst den 2.Summanden nur nicht, oder wie?
Nunja, das ist, weil man im Prinzip die 0 auch noch abziehen muss. Das haben wir so gelernt. Meistens kann dieser Teil zwar vernachlässigt werden, da er meistens null ergibt, aber eben nicht immer Augenzwinkern

Und deine 2.Aussage ist mir durchaus klar.

Da verstehe ich allerdings nicht, worauf du hinaus willst.

Ich kann dir ja gerne noch einmal aufschreiben worauf ich mich beziehe:

$\begin{eqnarray*} P(x\leq k) = \phi(\frac{k+0.5-\mu}{\sigma} ) - \phi(\frac{0-0.5-\mu}{\sigma} ) \end{eqnarray*}$

Gruß!

27.10.2005, 19:14

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Zitat:

Original von aRo
wat jetzt?

du verstehst den 2.Summanden nur nicht, oder wie?

Diese Annahme ist schon fast eine Beleidigung. Augenzwinkern

Zitat:

Original von aRo
Nunja, das ist, weil man im Prinzip die 0 auch noch abziehen muss.

Nein, muss man eben nicht! Entweder du kannst die Normalverteilungsapproximation anwenden, dann ist dieser Wert winzigst klein (wie reden hier von $\begin{eqnarray*} 10^{-20} \end{eqnarray*}$ oder noch kleiner) - oder du kannst die Normalverteilungsapproximation nicht anwenden, dann erübrigt sich die Diskussion. Für die eigentlich richtige Binomialverteilung gilt sowieso immer $\begin{eqnarray*} P(X<0)=0 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Was ich gerade erst sehe - die (-0.02) sind natürlich auch Unsinn. Was du nach n auflösen musst, ist

$\begin{eqnarray*} 1-\Phi\left(\frac{71.5-\displaystyle\frac{5}{6}n}{\sqrt{\displaystyle\frac{5}{36}n}}\right) \geq 0.98 \end{eqnarray*}$ ,

oder anders geschrieben

$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{71.5-\displaystyle\frac{5}{6}n}{\sqrt{\displaystyle\frac{5}{36}n}}\right) \leq 0.02 \end{eqnarray*}$ .

27.10.2005, 20:05

aRo

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naja, muss man im prinzip schon, aber sie ist eben null. Du hast wohl recht, dass sie, wenn mans anwenden darf, immer null ist.

Ich wollte dich nicht "beleidigen". Tut mir leid wenn ich das falsche Wort benutzt habe. Aber du hättest ja wissen müssen, warum ich das da hingeschrieben habe, oder aus welcher überlegung das kommt. nur du hast so gefragt, als wär das total und völlig absurd.

naja....ich denke du meinst das ja auch nciht so ernst.

Okay, das heißt ich lasse den hinteren Teil einfach weg, dann habe ich $\begin{eqnarray*} n\geq95 \end{eqnarray*}$ raus.Das heißt also 5 Päkchen. Bzw. das ist leider etwas gefuddelt. Eigentlich bekomme ich raus:
$\begin{eqnarray*} 78\leq n\leq 94 \end{eqnarray*}$
aber das erscheint mir irgendwie unlogisch. Irgendwie ist mein Ungleichungszeichen falsch herum. Aber ich verstehe nicht warum....

Vielen Dank für deine Hilfe,
aRo

edit: jo, das mit den -0.02 hab ich auch germerkt, *g*

27.10.2005, 20:16

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Mit der richtigen Binomialverteilung gerechnet kommt übrigens $\begin{eqnarray*} n\geq 96 \end{eqnarray*}$ raus (mit Statistik-Programm berechnet - von Hand wäre das der reinste Mord). Diese Abweichung liegt aber nicht an dem Approximationsfehler bei 0, sondern an dem bei 72.

Was soll's - die 20er Packungen an Nägeln betreffend ergibt sich dieselbe Antwort.

EDIT: Verschrieben - 96 statt 97.

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