inverse Matrix berechnen

28.10.2005, 13:02

tommy07

inverse Matrix berechnen

Hallo,
versuche gerade eine inverse MAtrix per Hand zu berechnen. Leider bin ich Ansatzlos gescheitert. Bei Wikipedia steht etwas vom Geußschen Eliminationsverfahren. Ich weiß aber nicht, wie mich das weiterbringen soll.

Bespiel:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 1 &5\\ 3 & 1 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Derive sagt, dass die inverse Matrix dieses hier ist:

$\begin{eqnarray*} A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.75 & -1 & 0.25 \\ -0.25 & 3 & -1.75\\ -0.25 & 0 & 0.25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dieses habe ich überprüft,weil ich $\begin{eqnarray*} A\cdot A^{-1}=E \end{eqnarray*}$ herausbekommen habe.

Aber wie berechne ich die inverse Matrix per Hand?

28.10.2005, 13:09

derkoch

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mit dem gauß-jordan verfahren

oder wenn du zeit und lust hast mit der verwendung von Unterdeterminanten

Edit: Verschoben

28.10.2005, 13:44

tommy07

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hab mir das gerade bei wikipedia durchgelesen. Am Anfang hat mane eine Matrix A und am Ende die Einheutsmatrix E, wo kommt dor die inverse Matrix ins Spiel?

28.10.2005, 13:53

therisen

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RE: inverse Matrix berechnen
Hi,
bilde die 3 x 6 Kästchenmatrix:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 &5 & 0 & 1 & 0\\ 3 & 1 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Ich weiß jetzt nicht, wie ich zwischen der 3. und 4. Spalte einen senkrechten Strich hinbekomme!)

Bringe nun die linke Hälfte (d.h. die "linke" 3x3 Matrix) auf die Einheitsmatrix (die elementaren Zeilenumformungen musst du natürlich auf die ganze Matrix anwenden!). Die "rechte" 3x3 Matrix ist dann die Inverse.

Gruß, therisen

28.10.2005, 14:40

tommy07

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ok. hab das mal versucht und ein komplett anderes Ergebnis raus.

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 &5 & 0 & 1 & 0\\ 3 & 1 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zunächst habe ich die erste Zeile durch 3 geteilt:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1/3 & 4/3 & 1/3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 &5 & 0 & 1 & 0\\ 3 & 1 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann Z2 -2*Z1 und Z3-3*Z1

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1/3 & 4/3 & 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 &7/3 & -2 & 1/3 & -8/3\\ 0 & 0 & 4 & -3 & -1 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Z2*3 und Z1-1/3Z3

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1/3 & 0 & 1/3 & 0 & -4/3 \\ 0 & 1 &7 & -6 & 1 & -8\\ 0 & 0 & 4 & -3 & -1 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Z2-7/4*Z3

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1/3 & 0 & 1/3 & 0 & -4/3 \\ 0 & 1 &0 & -6 & 1 & -15\\ 0 & 0 & 4 & -3 & -1 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zum Schluss noch Z3/4 und Z1-1/3Z2

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/3 &-1/3 & -4/3 \\ 0 & 1 &0 & -6 & 1 & -15\\ 0 & 0 & 1 & -3/4 & -1/4 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

leider unterscheidet sich dieses voll und ganz von dem, was rauskommen sollte. Was habe ich falsch gemacht? Muss man vielleicht die rechte Matrix alleine betrachten und sodass z.B., wenn man am Anfang Z1-3Z2 rechnen würde für die erste Zeile 1 -3 0 herauskommen würde?

28.10.2005, 14:57

tommy07

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hab es. *feier*. War der Fehler, den ich vermutet habe.

Kann man das ganze jetzt verallgemeinern?

Man muss doch jedes mal die gleichen Arbeitsschritte machen:

Z1/a11
Z2-a21*Z1
Z3-a31*Z1
Z2/a22
Z1-(a13/a33)*Z3
Z2-(a23/a33)*Z3
Z1-a12*Z2
Z3/a33

Ich glaube, ich hab da was vergessen. Bei der Rechnung eben wurde ja a32 auf einmal 0. Welchen Schritt muss man noch machen, wenn dem nicht so ist?

28.10.2005, 14:57

therisen

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Zitat:

Original von tommy07
dann Z2 -2*Z1 und Z3-3*Z1

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1/3 & 4/3 & 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 &7/3 & -2 & 1/3 & -8/3\\ 0 & 0 & 4 & -3 & -1 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mehr brauch ich schon gar nicht zu lesen. $\begin{eqnarray*} 0-2*1/3=-2/3\neq -2 \end{eqnarray*}$ . Zeile 2, Spalte 4.

Gruß, therisen

28.10.2005, 15:04

tommy07

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man man dann nach bevor man Z2/a22 rechnet Z3-(a32/a22)*Z2 rechnen?

28.10.2005, 15:06

therisen

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Zitat:

Original von tommy07
man man dann nach bevor man Z2/a22 rechnet Z3-(a32/a22)*Z2 rechnen?

Ich verstehe die Aussage dieses Satzes nicht. "Man man dann?" LOL Hammer

29.10.2005, 18:01

tommy07

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entschuldigung. Ich wollte fragen, ob man, bevor man Zeile 2 durch $\begin{eqnarray*} a_{22} \end{eqnarray*}$ teilt, $\begin{eqnarray*} a_{32}/a_{22}*Zeile2 \end{eqnarray*}$ von Zeile 3 subtrahiert.

29.10.2005, 19:33

tommy07

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Konzept geht nicht auf
Hallo,
habe das ganze noch einmal durchgedacht und das Konzept geht leider irgendwie nicht auf.
Die Matrix ist vom Typ:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & b & c & 1 & 0 & 0 \\ d & e &f & 0 & 1 & 0\\ 0 & h & i & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zunächst teile ich die erste Zeile durch a und subtrahiere d mal die 1. Zeile von der 2.

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & b/a & c/a & 1/a & 0 & 0 \\ 0 & e-db/a &f-dc/a & -d/a & 1 & 0\\ 0 & h & i & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich muss es doch irgendwie schaffen, dass das h zu einer null wird. Weiß jemand, wie man dann weiterrechnet?

29.10.2005, 19:42

tommy07

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sorry, dass ich heute so spame. steh ein bisschen unter zeitdruck und hab eindeutig zu wenig geschlafen. Hab es gerade herausgefunden. Zeile2 durch $\begin{eqnarray*} e-db/a \end{eqnarray*}$ teilen und dann Z3-h*Z2

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