Minimalpolynom von A und A^T

28.10.2005, 17:49	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom von A und A^T Also ich hab mal wieder selber ein Problem Sei $\begin{eqnarray} A \in R^{n,n} \end{eqnarray}$ zu Zeigen ist das A und $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ das gleiche Minimalpolynom haben. Ich weiß das $\begin{eqnarray} P_{\lambda}(A) = P_{\lambda}(A^T) \end{eqnarray}$ Also die charakteristischen Polynome sind gleich. Dazu weiß ich das die Minimalpolynome $\begin{eqnarray} m_{\lambda}(A) \| m_{\lambda}(A^T) \end{eqnarray}$ die selben irreduziblen Faktoren wie $\begin{eqnarray} P_{\lambda} \end{eqnarray}$ haben. Das ist auch alles und irgendwie fehlt mir der Ansatz. Ich habs zuerst mal darüber Versucht das sich die beiden Polynome gegenseitig teilen dann wären sie gleich. Bin da aber nicht wirklich weit gekommen. Mir fehlt so die Richtung in die man gehen muss. edit Ach ja das Minimalpolynom einer MAtrix ist das kleinste Polynom $\begin{eqnarray} m_{\lambda}(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m_{\lambda}(A) = 0 \end{eqnarray}$
28.10.2005, 17:54	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Für ein beliebiges Polynom $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} Q(A^T) = \left(Q(A)\right)^T \end{eqnarray}$ . Und das war's schon fast.
28.10.2005, 17:56	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe, damit ist das natürlich sehr einfach. Muss ich also die Aussage da zeigen und bin fertig. Danke

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