Ordnungsrelation reeller Zahlen (Zeigen Sie, dass...)

29.10.2005, 13:32

gast0815

Ordnungsrelation reeller Zahlen (Zeigen Sie, dass...)

Hallo an alle!

Hab da ein kleines Problem. Ich soll zeigen, dass folgende Aussage für die gegebenen Zahlen a, b, c, d Element von R (reelle Zahlen) gilt:

(a<b) und (c<d) => a+c < b+d

Ich hab eigentlich gar keinen richtigen Plan, wie ich bei sowas vorgehen soll. Aber ich hab mir mal folgendes gedacht, wobei ich denke, dass das nicht ausreichen wird um das wirklich zu zeigen, aber die Lösung, die ich in einem Buch gefunden habe, kann ich zwar nachvollziehen, weiß aber nicht, wie man Schritt für SChritt darauf kommen kann!

Also hier mal mein kümmerlicher Ansatz:

(a<a+n) und (b<b+n) => a+b < a+b+2n wobei a, b, n Element von R

Also ich brauch da mal eure Hilfe und ne logische Schritt für Schritt Erklärung von dem ganzen! Dankeschön schon mal im Vorraus!!

29.10.2005, 13:43

gast0815

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oder moment!

mir ist gerade aufgefallen, dass durch die einfache Addition man ja auf die implizierte Ungleichung kommt, also:

(a<b)
+ (c<d)
------------
(a+c) < (b+d) (das ist die implizierte Ungleichung)

Nur reicht das schon als Beweis? Hat man es damit schon gezeigt oder gehört da mehr dazu??

29.10.2005, 15:54

Mathespezialschüler

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Nein, du hast es damit nicht gezeigt. Dass du die beiden Ungleichungen addieren kannst, das willst du ja gerade zeigen. Du musst mit den Ordnungsaxiomen arbeiten!
Tipp: Schätze a und c einzeln (also nacheinander) ab und nicht gleichzeitig!

Gruß MSS

29.10.2005, 16:47

gast0815

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Also ich hab jetzt das auf meinem Blatt stehen:

$\begin{eqnarray*} Gezeigt werden soll: (a<b) UND (c<d) \Rightarrow a+c < b+d. Dabei gilt \forall a,b,c,d \in R. Bekannt: Eigenschaften der Ordnungsrelationen von R: (i) Transitivität: e<f UND f<g \Rightarrow e<g ; wobei \forall e, f, g, \in R sind. (ii) Monotonie der Addition: h Beweis: a c<d \Rightarrow (c+b) < (d+b) [nach Eigenschaft (ii)] (Anmerkung: Das hier "b" addiert werden muss, ergibt sich aus der Eigenschaft der Transitivität. Wir definieren weiter unten: f=b+c=c+b. (a+c) < (b+c) UND (c+b) < (d+b) jetzt setzen wir: a+c=e b+c=f d+b=g Jetzt Eigenschaft (i) angewendet ergibt wegen e < g: (a+c) < (d+b) was zu zeigen war. \end{eqnarray*}$

Ist das so OK oder gibt es was zu bemängeln?? Bitte helft mir weiter!! Dankeschön!!

29.10.2005, 16:53

gast0815

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Also ich hab jetzt das auf meinem Blatt stehen:

Gezeigt werden soll: (a<b) UND (c<d) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ a+c < b+d. Dabei gilt für alle a,b,c,d Element R.

Bekannt: Eigenschaften der Ordnungsrelationen von R:

(i) Transitivität: e<f UND f<g $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ e<g ; wobei $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ e, f, g, $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R sind.

(ii) Monotonie der Addition: h<i $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (h+k) < (i+k); $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ h, i, k $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R

Beweis:

a<b $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (a+c) < (b+c) [nach Eigenschaft (ii)]
c<d $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (c+b) < (d+b) [nach Eigenschaft (ii)] (Anmerkung: Das hier "b" addiert werden muss, ergibt sich aus der Eigenschaft der Transitivität. Wir definieren weiter unten: f=b+c=c+b.)

(a+c) < (b+c) UND (c+b) < (d+b)

jetzt setzen wir:
a+c=e
b+c=f
d+b=g

Jetzt Eigenschaft (i) angewendet ergibt wegen e < g:
(a+c) < (d+b) was zu zeigen war.

29.10.2005, 16:56

gast0815

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Ach so und nochmal die wichtige Frage: Ist das vom letzten Post so OK oder gibt es was zu bemängeln?? Wenn ja, was?? Bitte helft mir weiter!! Dankschön!!!

29.10.2005, 17:32

Mathespezialschüler

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Naja, du solltest noch hinschreiben, warum e<g, vor allem, welches Axiom du da verwendest. Sonst ist alles ok.

Gruß MSS

29.10.2005, 21:18

gast0815

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warum e<g, steht doch eigentlich da, nämlich bei der eigenschaft (i).
_________________________________
Hab noch ne andere Aufgabe, wo ich aber auch mit den Eigenschaften der Ordnungsrelationen nicht weiter weiß:

Zeigen sie: 0 < a < b $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 0 < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ (a, b Element von R)

Hier im Buch stegt folgend Lösung, kann ich aber nicht ganz nachvollziehen, was für Eigenschaften der Ordnungsrelationen angwendet worden sind:

0 < a <b $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 0 < ab $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 0 < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ab} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 0 < a $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ab} \end{eqnarray*}$ < b $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ab} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 0 < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

Vor allem wie kommt man darauf, dass 0 < ab ist??

Und schn mal vielen Dank für die Hilfe!!

29.10.2005, 21:31

Mathespezialschüler

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Naja, ihr habt doch da sicher so ein Gesetz, was folgendermaßen aussieht, zu stehen (vll bei (iii)?):

Für alle $\begin{eqnarray*} a,b,c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} ac<bc \end{eqnarray*}$ .

Setze darin mal anstelle von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und anstelle von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein.
Was mich aber am meisten stört, ist, dass die einfach so aus $\begin{eqnarray*} ab>0 \end{eqnarray*}$ folgern, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ab}>0 \end{eqnarray*}$ ist. Habt ihr das schon bewiesen?

Gruß MSS

29.10.2005, 22:21

gast0815

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Was mich aber am meisten stört, ist, dass die einfach so aus $\begin{eqnarray*} ab>0 \end{eqnarray*}$ folgern, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ab}>0 \end{eqnarray*}$ ist. Habt ihr das schon bewiesen?

Gruß MSS

Nein. Wie kommt man da drauf?? Einfach das Reziproke bilden, oder?

29.10.2005, 23:01

Mathespezialschüler

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Ja, aber das Problem ist, das steckt ja in der Aufgabe schon drin. D. h., das soll man eigentlich erst beweisen. Naja, das macht man jedenfalls so:
Also, Aussage: Sei $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}>0 \end{eqnarray*}$ .
Beweis: Wäre nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}<0 \end{eqnarray*}$ , so würde aus dem oben angesprochenen Axiom (iii) mit $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=x \end{eqnarray*}$ folgen, dass $\begin{eqnarray*} ac=x\cdot \frac{1}{x}=1<x\cdot 0=0 \end{eqnarray*}$ wäre, was ein Widerspruch ist.

Gruß MSS

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