Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit

29.10.2005, 13:53

mercany

Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit

Hallo

Könnte mir mal wer genauer erkläutern, was abzählbare und überabzählbare Mengen genau sind und außerdem, wie dies definiert ist?!

Gruß, mercany

29.10.2005, 13:58

sqrt(2)

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Eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist abzählbar, wenn es eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, also eine Abbildung, die jedem Element aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ genau eines aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ zuordnet (und umgekehrt). Man sagt von einer abzählbaren Menge auch, sie hat die Kardinalität $\begin{eqnarray*} \aleph_0 \end{eqnarray*}$ .

Es gibt aber Mengen, die haben sozusagen mehr Elemente als $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , obwohl $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ schon unendlich viele Elemente hat. Diese Mengen nennt man überabzählbar, $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist eine solche Menge, wie Georg Cantor bewies.

29.10.2005, 14:14

Sunwater

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um es anschaulicher zu sagen: man kann abzählbare Mengen durchnummerieren.
Obwohl man denkt, dass es eigentlich mehr natürliche Zahlen es gerade Zahlen geben müsste kann man der 1. geraden Zahl die 1 zuordnen, der 2. geraden Zahl ( also 4 ) die 2 usw.
weil das so ist sind beide abzählbar unendlich.
Man kann auch die Primzahlen durchnummerieren, oder die rationalen Zahlen.
Probleme bekommst du bei den reellen Zahlen... - die kannst du nicht mehr durchnummerieren... - deswegen heißen sie überabzählbar unendlich.
Aber das sind keine Definitionen sondern nur ein paar Beispiele zum Verständnis.

30.10.2005, 12:46

mercany

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Okey, danke euch beiden für die Erklärung!

Zitat:

Original von sqrt(2)Man sagt von einer abzählbaren Menge auch, sie hat die Kardinalität $\begin{eqnarray*} \aleph_0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du mir jetzt noch verrätst, was eine Kardinalität bzw. was die Kardinalität $\begin{eqnarray*} \aleph_0 \end{eqnarray*}$ ist?!

edit: Verstehe ich als richtig, dass sich Abzählbarkeit immer auf die Menge der natürlichen Zahlen bezieht?

Gruß, mercany

30.10.2005, 12:55

Mathespezialschüler

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Das ist ein Maß für die Anzahl der Elemente der Menge. Die Menge $\begin{eqnarray*} M=\{1,2,\ldots,67\} \end{eqnarray*}$ z. B. hat die Kardinalität $\begin{eqnarray*} |M|=67 \end{eqnarray*}$ . Mengen mit unendlich vielen Elemente kann man ja keine endliche Zahl als Kardinalität zurordnen. Da es aber Mengen verschiedener Mächtigkeiten gibt, kann man trotzdem im Unendlichen unterscheiden. Man hat also verschiedene Unendlichkeiten. Die abzählbaren Mengen sind die kleinsten, unendlichen Mengen. Diese haben dann die Kardinalität $\begin{eqnarray*} \aleph_0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ wiederum ist ja überabzählbar und hat somit eine größere Mächtigkeit. Die Kardinalität von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist dann einfach $\begin{eqnarray*} \aleph_1 \end{eqnarray*}$ (edit: unter Annahme der Kontinuumshypothese, siehe den nächsten beiden Posts). Das sind alles letztendlich nur Festlegungen, um zwischen unendlichen Mengen zu unterscheiden.
Siehe auch Kardinalität bei Wikipedia.

Gruß MSS

30.10.2005, 13:00

JochenX

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Die Kardinalität von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist dann einfach $\begin{eqnarray*} \aleph_1 \end{eqnarray*}$

und soeben hat max die kontinuumshypothese geklärt.... Mit Zunge

30.10.2005, 13:09

Mathespezialschüler

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So genau kenn ich mich bei den Bezeichnungen auch noch nicht aus. Habs nur grad ergooglet.
Und jetzt habe ich nochmal gegooglet und sehe, dass dort als Zusatz steht, dass man dies so definiert unter Annahme der Kontinuumshypothese. Danke, dass du mich drauf aufmerksam gemacht hast, Jochen.

Gruß MSS

30.10.2005, 13:36

mercany

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Super, danke euch beiden!
Den Artikel bei Wikipedia werd ich mir mal nachher in Ruhe durchlesen.

Gruß, mercany

16.02.2006, 19:04

Mattes_01

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Falls sich da einer näher für interessiert, es gibt da eine tolle Sonderausgabe der Spektrum der Wissenschaft Spezial mit dem Titel Unedlich (plus eins)

http://www.wissenschaft-online.de/artikel/784297

sollte man in jedem guten Bücherladen kaufen oder bestellen können (8,90€) die sich lohnen!

Mit Hilberthotel etc, und super erklärt ;-)

Gruss

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