Injektivität, Surjektivität, im(f)

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29.10.2005, 16:59	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität, Surjektivität, im(f) Hallöchen! Wir haben eine Funktion bekommen, die weder injektiv noch surjekti ist und genau das müssen wir zeigen. Die Funktion ist: f(x):=x^2+px-q Warum die nicht injektiv und nicht surjektiv ist versteh ich zwar, nur muss ich das auch mathematisch zeigen. Injektivität hab ich so gezeigt: f(a)=f(b) => a^2+pa-q = b^2+pb-q => a=b-p folg nach Umformung. Reicht das wenn ich es so schreibe? Bei Surjektivität weiss ich leider nicht wie ichs machen soll. Ich weiss nur, alle x<-q nicht abgebildet werden, aber wie kann ich das zeigen? Außerdem sollen wir das im(f) angeben. Reicht es wenn ich schreibe: im(f):={y: es ex. ein x aus X und y=x^2+px-q} ?
29.10.2005, 17:43	DGU	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Nachweis der Injektivität würd ich die entsprechenden Umformungen noch hinschreiben, sonst siehts gut aus Bei der Surjektivität kannst du zB zeigen, dass die Funktion genau einen Tiefpunkt hat => alle Punkte unterhalb dieses Tiefpunkts Werte sind, die die Funktion nie annimmt
29.10.2005, 17:58	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Injektivität zu widerlegen, braucht man doch nur ein Gegenbeispiel und nicht irgendwelche Umformungen. Zumal deine Umformung falsch ist, es folgt $\begin{eqnarray} a=-b\vee a=-b-p \end{eqnarray}$ . Die Funktion kann auch Werte unterhalb $\begin{eqnarray} -q \end{eqnarray}$ annehmen, nämlich genau dann, wenn $\begin{eqnarray} p<0 \end{eqnarray}$ ist. Für die Widerlegung der Surjektivität musst du einfach einen Wert angeben, der nicht als Funktionswert angenommen wird. Natürlich musst du noch zeigen, dass dieser nicht als Funktionswert angenommen wird. Gruß MSS
29.10.2005, 18:06	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
Also reicht es für beide jeweils ein konktretes beispiel zu finden, dasseine injektivität bzw. surjektivität widerlegt... und wie ist das mit dem if(f), kann man das so stehen lassen wie ichs geschrieben hab?
29.10.2005, 18:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist zwar richtig, du sollst die Menge aber wohl explizit angeben. Das machst du am besten, indem du den $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Wert des Scheitelpunktes bestimmst! Gruß MSS
29.10.2005, 18:20	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
wir müssen dann auch noch ein offenes intervall J und ein intervall K so angeben, dass die funktion mit f: J -> K bijektiv ist. Da hab ich für J:=]-p/2, + unendlich[ und für K:=]-q, + unendlich[ angegeben, für denn fall dass p>0, könnte das so hinkommen?
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29.10.2005, 18:25	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal als allgemeine Frage: Ist p>0 vorausgesetzt? Nein, das geht so nicht! K ist nicht groß genug. Du musst vom $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Wert des Scheitelpunkt bis $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ gehen. Dazu musst du den angesprochenen Wert erstmal berechnen, er ist nicht $\begin{eqnarray} -q \end{eqnarray}$ !! Gruß MSS
29.10.2005, 18:30	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich hab jetzt den scheitelpunkt berechnet, ich hab da raus: S= (-p/2,-2q), dann heißt das ja, dass ich für K:= ]-2q, + unendl.[ hab, oder?..... p>0 ist nicht vorrausgesetzt, aber wenn man das erstmal mit p>0 hat, dann ist das nicht schwer für p<o zu machen....
29.10.2005, 18:32	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glauch ich hab nen fehler gemacht, S=(-p/2,2q), also ist K:=]2q, +unendl.[
29.10.2005, 18:33	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, -2q und 2q sind falsch. Zeig mal deine Rechnung! Ob nun p>0 oder <0, ist sowas von egal, weil du diese Eigenschaft ja gar nicht benutzt beim Rechnen. Gruß MSS
29.10.2005, 18:45	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
denkfehler...man muss das ja mit der ableitung machen..+ aslo f'(x)=2x+p und dann muss gelten: 0=2x+p => x=-2/p und dann f(-2/p)=-(p^2/4)-q... S=(-p/2, (-p^2/4)-q) jetzt stimmt aber oder?
29.10.2005, 18:48	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
dann ist jetzt K:= ]y-wert von S, + unendl.[
29.10.2005, 18:51	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss es nicht mit der Ableitung machen, es geht auch mit quadratischer Ergänzung. Wenn du noch die Schreibfehler, wo du -2/p und nicht -p/2 geschrieben hast, dann ist alles korrekt. Gruß MSS
29.10.2005, 18:55	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versteh aber noch nicht, wo ich das bei im(f) mit dem scheitelpunkt einbringen muss....
29.10.2005, 18:58	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach dir mal ne Zeichnung. Aller Werte größer als $\begin{eqnarray} -\frac{p^2}{4}-q \end{eqnarray}$ und dieser Wert selbst werden angenommen als Funktionswerte. Alle anderen nicht und damit weißt du doch sofort, welche Werte als Funktionswerte angenommen werden. Gruß MSS
29.10.2005, 19:03	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
also im(f):={y: es ex. ein x aus X: y=x^2+px-q und y>(-p/2-q)}
29.10.2005, 19:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist doch schon die Menge. Außerdem musst du $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ schreiben. Also: $\begin{eqnarray} \operatorname{im}f=\left\{y\ \left\|\ \exists\ x\in\mathbb R\ :\ y=f(x)=x^2+px-q\right.\right\}=\left\{y\ \left\|\ y\geq -\frac{p^2}{4}-q\right.\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\left[-\frac{p^2}{4}-q,+\infty\right) \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
29.10.2005, 19:18	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool...vielen Dank!!!
01.11.2005, 17:47	Sheli	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse Funktion berechnen Ich hab noch ne Frage zu dieser Aufgabe. Und zwar hab ich eben gesehen, dass wir zu der funktion f(x)=x^2+px-q die wir durch einschränkung der intervalle bijekiv gemacht haben, auch die inverse funktion angeben müssen.... Wie man eine Inverse berechnet weiss ich, aber in diesem Fall kann ich nicht wirklich was damit angangen.....

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