Berechne den Logarithmus

29.10.2005, 19:13

Kalara

Berechne den Logarithmus

Hallo,

vielleicht kann mir hier jemand helfen. Habe zwar schon die Suche bemüht, aber nicht DIE Antwort für mich gefunden.

Wie bekomme ich raus, das Log 3 (81) = 4 ist?
Ich soll beweisen, das das stimmt.

Vielen lieben Dank im Voraus.

Liebe Grüße
Klara

29.10.2005, 19:15

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch nach Definition so!

$\begin{eqnarray*} \log_ax=y\Leftrightarrow x=a^y \end{eqnarray*}$ .

Das ist die Definition des Logarithmus. Wende das mal auf deine Gleichung an.

Gruß MSS

29.10.2005, 19:23

Kalara

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Das ist doch nach Definition so!

$\begin{eqnarray*} \log_ax=y\Leftrightarrow x=a^y \end{eqnarray*}$ .

Das ist die Definition des Logarithmus. Wende das mal auf deine Gleichung an.

Gruß MSS

Hallo MSS,

vielen Dank für Deine Antwort.

Hmm, diese Definition kenne ich.

Auch weiß ich, als wir Potenzen hatten, das 3^4 = 81 ist, da 3 + 3 * 3 * 3 = 9 * 9 = 81 ist.

Aber wie berechne ich das?

Wie berechne ich z.B. Log3(75) = x ?
Da kommt eine Kommazahl raus, das weiß ich, aber wie komme ich auf das Ergebnis.

Gut, ist stelle mal nach der Definition um : 3^x = 75. Und nun?
Wie löse ich das ohne Taschenrechner?

Danke im Voraus.

Liebe Grüße
Klara

29.10.2005, 19:24

Kalara

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur
Muss natürlich 3 * 3 * 3 * 3 = 9 * 9 = 81 heißen.

29.10.2005, 19:59

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne Taschenrechner kann man das nicht lösen. Warum sollte man? Man kann die Zahl nur annähern.

Gruß MSS

29.10.2005, 23:59

Kalara

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ohne Taschenrechner kann man das nicht lösen. Warum sollte man? Man kann die Zahl nur annähern.

Gruß MSS

Echt?
Ein Kumpel hat da die Lösung gewusst, ohne Taschenrechner.

Wie macht man den die Annäherung?

Ich vermute, das mir entsprechendes Grundwissen dafür fehlt
Vielleicht das selbe wie bei Wurzeln, den die Arbeit hatte ich versiebt.

Was genau benötigt man den an Grundwissen, so daß man den Logarithmus und vielleicht auch die Wurzlen versteht und anwenden kann?

Lieben Dank für Deine Gedult.

Gruß
Klara

30.10.2005, 00:09

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat dein Kumpel die Lösung für $\begin{eqnarray*} \log_375=x \end{eqnarray*}$ gewusst oder für eine andere Gleichung? Wenn ja, was hat er denn als Lösung angegeben?
Natürlich kann man bei manchen Gleichungen die Lösung explizit angeben. Das sind aber solche Gleichungen wie die, dir wir oben hatten. Das Problem ist hier übrigens in der Tat dasselbe wie bei Wurzeln.
Für die Annäherung des Logarithmus gibt es natürlich sehr sehr viele Verfahren. Einmal gibt es da die Möglichkeit über Potenzreihen, da fehlt dir allerdings in der tat höchstwahrscheinlich die Theorie. Es geht aber auch ganz einfach mit einer Intervallschachtelung: Du weißt $\begin{eqnarray*} 3^3=27<3^x<81=3^4 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 3<x<4 \end{eqnarray*}$ . Dann machst du weiter mit der nächsten Dezimalen: Du probierst solange durch von $\begin{eqnarray*} 3,0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 4,0 \end{eqnarray*}$ , um dann auf die Zahl zu kommen, sodass $\begin{eqnarray*} 3^{3,a}<3^x<3^{3,(a+1)} \end{eqnarray*}$ ist. Also hier ist es z. B. $\begin{eqnarray*} a=9 \end{eqnarray*}$ . D.h.: $\begin{eqnarray*} 3^{3,9}<3^x<3^4 \end{eqnarray*}$ . So machst du jetzt mit der zweiten Dezimale weiter: Du probierst wieder durch von $\begin{eqnarray*} 3,90 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 4,00 \end{eqnarray*}$ und dann bekommst du $\begin{eqnarray*} 3^{3,92}<3^x<3^{3,93} \end{eqnarray*}$ . usw. Mir fällt grad auf, dass die Potenzen wie z.B. $\begin{eqnarray*} 3^{3,92} \end{eqnarray*}$ auch nicht so einfach zu berechnen sind, weswegen das Verfahren eigentlich quatsch ist. hmmm. Vll fällt mir ja noch was anderes ein.

Gruß MSS

30.10.2005, 07:41

Kalara

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Hat dein Kumpel die Lösung für $\begin{eqnarray*} \log_375=x \end{eqnarray*}$ gewusst oder für eine andere Gleichung? Wenn ja, was hat er denn als Lösung angegeben?
Natürlich kann man bei manchen Gleichungen die Lösung explizit angeben. Das sind aber solche Gleichungen wie die, dir wir oben hatten. Das Problem ist hier übrigens in der Tat dasselbe wie bei Wurzeln.
Für die Annäherung des Logarithmus gibt es natürlich sehr sehr viele Verfahren. Einmal gibt es da die Möglichkeit über Potenzreihen, da fehlt dir allerdings in der tat höchstwahrscheinlich die Theorie. Es geht aber auch ganz einfach mit einer Intervallschachtelung: Du weißt $\begin{eqnarray*} 3^3=27<3^x<81=3^4 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 3<x<4 \end{eqnarray*}$ . Dann machst du weiter mit der nächsten Dezimalen: Du probierst solange durch von $\begin{eqnarray*} 3,0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 4,0 \end{eqnarray*}$ , um dann auf die Zahl zu kommen, sodass $\begin{eqnarray*} 3^{3,a}<3^x<3^{3,(a+1)} \end{eqnarray*}$ ist. Also hier ist es z. B. $\begin{eqnarray*} a=9 \end{eqnarray*}$ . D.h.: $\begin{eqnarray*} 3^{3,9}<3^x<3^4 \end{eqnarray*}$ . So machst du jetzt mit der zweiten Dezimale weiter: Du probierst wieder durch von $\begin{eqnarray*} 3,90 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 4,00 \end{eqnarray*}$ und dann bekommst du $\begin{eqnarray*} 3^{3,92}<3^x<3^{3,93} \end{eqnarray*}$ . usw. Mir fällt grad auf, dass die Potenzen wie z.B. $\begin{eqnarray*} 3^{3,92} \end{eqnarray*}$ auch nicht so einfach zu berechnen sind, weswegen das Verfahren eigentlich quatsch ist. hmmm. Vll fällt mir ja noch was anderes ein.

Gruß MSS

Hi,

ja, er wusste die Zahl bis auf drei Stellen nach dem Komma.

Da waren einige etwas verzweifelt, weil er das so schnell wusste.
Selbst der Lehrer war überrascht.

Leider sagt er nicht, wie er das gemacht hat. Hat nur gegrinst.
Da er sonst nur 3er schreibt und dann sowas raushaut, ist das schon etwas merkwürdig.

Ahh, sooo macht man diese Annäherung.

Ich glaube, langsam verstehe ich die Logarithmen besser.

Kann man die Logarithmen eigentlich "bildlich" erklären, so daß man sie besser versteht?

Danke.

Gruß
Klara

30.10.2005, 09:57

Gust

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt das so?

$\begin{eqnarray*} \log_a~x = y \Leftrightarrow x = a^y \Leftrightarrow a = \sqrt [y]{x} \end{eqnarray*}$

@klara:

"a hoch y ist x"

in dem Fall: 3 hoch was ist 75?" [das was ist gesucht]

so merk ich mir das - ist zwar etwas komisch, aber mir hilfts ;-)

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

30.10.2005, 11:42

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, dann wär's schonmal ganz schön, zu erfahren, wie er das gemacht hat. So schnell den Logarithmus auf drei Zahlen hinter dem Komma anzugeben, ist eigentlich fast unmöglich. Wahrscheinlich hat er irgendwie versteckt den TR benutzt. Big Laugh

Gruß MSS

30.10.2005, 12:08

babelfish

Auf diesen Beitrag antworten »

hat er denn die aufgabe gestellt, oder ihr? ...
4 ziffern auswendig zu lernen, sollte wahrscheinlich für alle hier zu schaffen sein! Augenzwinkern

30.10.2005, 13:47

Kalara

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

er verrät es nicht. Eine Mitschülering meinte, das er vielleicht schonmal diese Aufgabe gesehen hat. Ist mittlerweile für mich die einzigste Erklärung, da hier ja keiner von Euch das scheinbar auch kann. (Ausser man hat das schonmal gemacht.)

Von jemand anderen habe ich erfahren, das einige die Zahlen auswendig lernen.

Aber das erklärt leider nicht, WIE man den Logarithmus berechnet.

Das sind eher Gedächtnis-Tricks.

Ich glaube ich geb es auf, das zu verstehen zu wollen, wie man das macht.

Schönen Sonntag noch.

Liebe Güße
Klara

30.10.2005, 13:47

Kalara

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von babelfish
hat er denn die aufgabe gestellt, oder ihr? ...
4 ziffern auswendig zu lernen, sollte wahrscheinlich für alle hier zu schaffen sein! Augenzwinkern

Auswendig lernen, gut und schön, aber das hilft leider nicht den Logarithmus zu verstehen.

Gruß
Klara

30.10.2005, 14:10

Gust

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Logarithmus ist eine Rechenoperation - und zwar die dritte im Bunde:

$\begin{eqnarray*} a^b=c \end{eqnarray*}$ [C ist gesucht] Potenzieren

$\begin{eqnarray*} \sqrt[b]{c} =a \end{eqnarray*}$ [A ist gesucht] Wurzelziehen

und der Logarithmus:
$\begin{eqnarray*} \log_a~c = b \end{eqnarray*}$ [B ist gesucht] Logarithmieren

anbei eine kleine Frage an alle: darf man das so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \log_a~c \equiv b \end{eqnarray*}$ ?

30.10.2005, 14:14

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

@Kalara
Was mir noch einfällt: Man kann natürlich Logarithmen großer Zahlen auf Logarithmen kleinerer Zahlen zurückführen durch ihre Primfaktorzerlegung und mithilfe der Logarithmengesetze. Z. B. ist ja $\begin{eqnarray*} 75=3\cdot 25=3\cdot 5^2 \end{eqnarray*}$ . Also gilt

$\begin{eqnarray*} \log_375=\log_3(3\cdot 5^2)=\log_33+\log_35^2=1+2\log_35 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \log_35 \end{eqnarray*}$ ist ja nun wesentlich einfacher zu berechnen als $\begin{eqnarray*} \log_375 \end{eqnarray*}$ . Allerdings ist die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \log_35 \end{eqnarray*}$ mit primitiven Mitteln auch nicht so einfach. Wikipedia schlägt auch nur die Berechnung über die Potenzreihe vor, die dir ja leider nichts nützt.

Zitat:

Original von Gust
anbei eine kleine Frage an alle: darf man das so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \log_a~c \equiv b \end{eqnarray*}$ ?

Ich wüsste nicht, warum das nötig ist.

Gruß MSS

Neue Frage »

Antworten »

Berechne den Logarithmus

Verwandte Themen