Zahlentheorie, limes Superior

17.04.2008, 12:14

shakethat

Zahlentheorie, limes Superior

Hallo
Ich arbeite gerade eine alte Klausur für das Fach Zahlentheorie nach. Da gibt es eine Multiplechoice Aufgabe, wo man halt ankreuzen soll, ob die Aussage wahr oder falsch ist.
Mein Problem lautet so
(a_n)_{n \ge 0} beliebige Folge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Gilt

$\begin{eqnarray*} \overline{lim}_{n \to \infty} (|a_n|)^{1/n} = \overline{lim}_{n \to \infty} (|(n+1) a_{n+1}|)^{1/n} \end{eqnarray*}$ ?

Die Antwort ist angeblich ja, aber ich verstehe nicht ganz den Hintergrund dieser Frage.

Ich hätte gesagt, das ist falsch und richtig müsste es wohl heißen

$\begin{eqnarray*} \overline{lim}_{n \to \infty} (|a_n|)^{1/n} = \overline{lim}_{n \to \infty} (| a_{n+1}|)^{1/n} \end{eqnarray*}$

Warum ist meine Idee falsch, warum muss dazu noch das (n+1) hinzumultipliziert werden? Oder istdie Musterlösung vielleicht falsch?

shakethat

17.04.2008, 12:36

therisen

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Hallo,

es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}|n+1|^{1/n}=1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

18.04.2008, 13:39

shakethat

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Zitat:

Original von therisen

es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}|n+1|^{1/n}=1 \end{eqnarray*}$ .

Gilt das denn auch für $\begin{eqnarray*} \overline{\lim_{n\to\infty}} \end{eqnarray*}$ , dem limes superior?

Mir wäre da jedenfalls nicht ersichtlich, wieso das gelten sollte

$\begin{eqnarray*} \overline{\lim_{n\to\infty}} \ |n+1|^{1/n} =sup(inf(|n+1|^{1/n})) =1 \end{eqnarray*}$

shakethat

18.04.2008, 13:55

therisen

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Zitat:

Original von shakethat
Hi

Zitat:

Original von therisen

es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}|n+1|^{1/n}=1 \end{eqnarray*}$ .

Gilt das denn auch für $\begin{eqnarray*} \overline{\lim_{n\to\infty}} \end{eqnarray*}$ , dem limes superior?

Natürlich. Der Limes Superior ist der größte Häufungspunkt der Folge. Da die Folge sogar konvergiert, gibt es nur einen einzigen Häufungspunkt.

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