Problem mit Beweis

30.10.2005, 14:58	Gast2	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Beweis Hallo zusammen. Ich soll die Wahrheit oder Falschheit einer Aussage beweisen und ich habe nicht einmal Ansatzweise eine Ahnung. a) für alle m (nat. Zahlen) soll gelten: 3 \| m => 3 \| m^2 b) für alle m (nat. Zahlen) soll gelten: 3 \| m^2 => 3 \| m Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
30.10.2005, 15:10	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet, dass $\begin{eqnarray} 3\ \|\ m \end{eqnarray}$ gilt? Schreib das mal in einer Gleichung auf! Was folgt daraus für $\begin{eqnarray} m^2 \end{eqnarray}$ ? Beim der zweiten solltest du die Kontraposition beweisen: Aus $\begin{eqnarray} 3\not\|\ m \end{eqnarray}$ folgt auch $\begin{eqnarray} 3\not\|\ m^2 \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
30.10.2005, 15:45	Gast2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gib mal die ganze Aufgabenstellung wieder: Wir schreiben a\|b, falls a Teiler von b ist, falls also b=na für eine ganze Zahl n. Beweisen Sie die Wahrheit oder die Falschheit der folgenden Aussagen über natürliche Zahlen m. a) $\begin{eqnarray} \forall m: 3\mid m \Rightarrow 3\mid m^2 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \forall m: 3\mid m^2 \Rightarrow 3\mid m \end{eqnarray*}$ Mit Beweisen habe ich bisher nicht wirklich zu tun gehabt, aber nun stehe ich echt in der Klemme. Die Aufgabe hat noch einen c) und d) Teil, aber ich glaube wenn ich wenigstens wüsste wie ich a) und b) löse, dass ich dann den Rest hinbekommen sollte.
30.10.2005, 16:09	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben Das ist doch schonmal gut! $\begin{eqnarray} 3\ \|\ m \end{eqnarray}$ bedeutet also, dass es eine Zahl $\begin{eqnarray} n\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} m=3n \end{eqnarray}$ . Rechne damit mal $\begin{eqnarray} m^2 \end{eqnarray}$ aus! Ist das dann vll auch durch $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ teilbar? Wenn ja, warum? Und bei b): Nimm an, $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ wäre kein Teiler von $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ . Dann gibt es also eine Zahl $\begin{eqnarray} n\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} m=3n+1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} m=3n+2 \end{eqnarray}$ ist. Dann ist $\begin{eqnarray} m^2=\ldots \end{eqnarray}$ ? Benutze da die binomische Formel. Was kannst du dann über die Teilbarkeit von $\begin{eqnarray} m^2 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ aussagen? Gruß MSS
30.10.2005, 16:42	Gast2	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für den Lösungshinweis. Ich habs mir mal wie folgt notiert: a) m=3n $\begin{eqnarray} m^2=9n^2=3(3n^2) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} m^2 \end{eqnarray}$ ist durch 3 teilbar. Die Aussage ist wahr. b) Annahme: 3 kein Teiler von m Beweis: m=3n+1 $\begin{eqnarray} m^2=(3n+1)^2=3(n^2+2n)+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m^2 \end{eqnarray}$ ist nicht durch 3 teilbar. Die Aussage ist falsch. Ich hoffe, dass das so stimmt. Nochmals Danke.
30.10.2005, 17:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei b) musst du aber auch noch den Fall $\begin{eqnarray} m=3n+2 \end{eqnarray}$ und nicht nur den Fall $\begin{eqnarray} m=3n+1 \end{eqnarray}$ behandeln!! Sonst ist alles richtig! Gruß MSS
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