Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel

30.10.2005, 16:02

The_Lion

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Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel

Hallo.
Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel für n=2.
Ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Für alle a,b € R+ (0 ist nicht in R+) gilt :
$\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$

und es gilt die Gleicheit genau dann wenn a = b

1.Fall: a = b ist leicht, ein wenig äquivalenzumformung und fertig

2.Fall: a ungleich b:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \\ <=> ab \leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \\ <=> ab \leq \frac{a(a+2b)+b^2}{4} \end{eqnarray*}$

Hier weiss ich, dass (a+2b) innerhalb der Klammer größer als b ist und a vor der Klammer ist gleich a. Die Gleichheit wäre also schonmal erreicht, wenn nur nicht dieser Nenner mit der 4 da wäre. Wie muss man diesen behandeln ? Wie zeigt man, dass der Nenner das ganze nicht kaputtmacht ?

30.10.2005, 16:05

Mathespezialschüler

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Verschoben

Du musst keine Fallunterscheidung nach $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ machen! Es geht auch einfach so. Multipliziere die vorletzte Zeile mit 4, bringe alles auf eine Seite und wende die binomische Formel an!

Gruß MSS

30.10.2005, 16:19

The_Lion

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \\ <=> ab \leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\\ <=> 4ab \leq a^2+2ab+b^2 \\ <=> 4ab - (a^2+2ab+b^2) \leq 0 \\ <=> 4ab - a^2 -2ab -b^2 \leq 0 \\ <=> 2ab - a^2 - b^2 \leq 0 \end{eqnarray*}$

Sorry, aber wie folgere ich weiter ? Die Abschätzung bereitet mir Probleme.

30.10.2005, 16:47

Gust

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$\begin{eqnarray*} 2 \cdot ab \leq a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

rein gefühlsmäßig müsste das für $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ gelten, müsste aber für $\begin{eqnarray*} 0 >a > 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0>b>1 \end{eqnarray*}$ noch zu überprüfen sein...

30.10.2005, 16:52

Mathespezialschüler

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Wie gesagt, binomische Formel!

$\begin{eqnarray*} 4ab\leq a^2+2ab+b^2\Leftrightarrow 0\leq a^2-2ab+b^2\Leftrightarrow 0\leq (a-b)^2 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

30.10.2005, 16:56

AD

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Zitat:

Original von Gust
müsste aber für $\begin{eqnarray*} 0 >a > 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0>b>1 \end{eqnarray*}$ noch zu überprüfen sein...

Welche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sollen das sein? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Im übrigen war das anfängliche Quadrieren unnötig, denn

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} = \frac{1}{2}(a-2\sqrt{ab}+b) = \frac{1}{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

tut es auch.

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30.10.2005, 16:59

Gust

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so kleine Zahlen, dass die Summe der Quadrate weniger sein könnte, als das Doppelte ihres Produkts (war nur so ein Gedanke)

30.10.2005, 17:08

riwe

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$\begin{eqnarray*} 2ab\leq a^{2}+b^{2}\mid -2ab \end{eqnarray*}$
fertig
werner

EDIT: entschuldigung, ich habe den beitrag von arthur dent nicht gesehen.

30.10.2005, 17:18

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Gust
so kleine Zahlen, dass die Summe der Quadrate weniger sein könnte, als das Doppelte ihres Produkts (war nur so ein Gedanke)

Heißt das, $\begin{eqnarray*} 0>a>1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0>b>1 \end{eqnarray*}$ war ernst gemeint? geschockt

geschockt

Dir ist schon klar, dass das nicht geht oder?

Gruß MSS

30.10.2005, 17:35

The_Lion

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ok danke. ist schon verwunderlich, dass ich nicht selbst auf sowas komme. unglücklich

unglücklich

30.10.2005, 17:54

Gust

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Heißt das, $\begin{eqnarray*} 0>a>1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0>b>1 \end{eqnarray*}$ war ernst gemeint? geschockt

geschockt

Dir ist schon klar, dass das nicht geht oder?

Gruß MSS

Hammer

- tschuldigung, ich mein natürlich die hier:

$\begin{eqnarray*} 0<a<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0<b<1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Gust
so kleine Zahlen, dass die Summe der Quadrate weniger sein könnte, als das Doppelte ihres Produkts (war nur so ein Gedanke)

- wie könnte man eigentlich beweisen, dass es solche Zahlen nicht gibt?

30.10.2005, 17:57

AD

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Zitat:

Original von Gust
- wie könnte man eigentlich beweisen, dass es solche Zahlen nicht gibt?

Ist das nicht gerade Gegenstand dieses Threads? Die Katze beißt sich in den Schwanz. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.10.2005, 17:58

Mathespezialschüler

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*lol* Das haben wir doch oben bewiesen:

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2\geq 2ab\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0 \end{eqnarray*}$

und da letzteres für alle reellen Zahlen gilt, gilt für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2\geq 2ab \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

30.10.2005, 18:00

Gust

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Idee!

danke

Wink

30.10.2005, 18:10

The_Lion

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eine weitere Aufgabe zu obiger Aufgabe lautet folgendermaßen:
Deuten Sie die Aussage in a) (also meine erstgestellte Aufgabe) für den Flächeninhalt und den Umfang eines Rechtecks geometrisch.

Meine Lösung dazu:

U = 2a+2b => $\begin{eqnarray*} \frac{2a+2b}{4} = \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ entspricht der durchschnittlichen Seitenlänge des Rechtecks mit den Seiten a und b.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ ist lediglich die Annäherung der durchschnittlichen Seitenlänge.

Für a = b sind beide Formeln genaue Angaben (also keine Annäherung)
Wäre das formal (und auch inhaltlich) korrekt ?

edit: Vom Umfang kann man also besser auf die Seitenlänge schließen als vom Flächeninhalt.

30.10.2005, 20:04

The_Lion

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ich will ja nicht rumspammen, aber vielleicht eine Meinung dazu ?
Danke.

12.02.2006, 21:38

The_Lion

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Eine Frage hätte ich noch.
Ich habe es auf zwei verschiedene Arten gemacht.

1.)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>ab\leq \frac{(a+b)^2}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>4ab\leq a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>0\leq a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>0\leq (a-b)^2 \end{eqnarray*}$

2.)
$\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>ab\leq \frac{(a+b)^2}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>0\leq \frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>0\leq \frac{a^2+2ab+b^2}{4}-\frac{4ab}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>0\leq \frac{(a-b)^2}{4} \end{eqnarray*}$

warum kommt am Ende beider Möglichkeiten jeweils ein anderes Ergebnis raus ?

13.02.2006, 00:30

Ben Sisko

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Ein "Ergebnis" hast du ja nicht. Du hast die Gleichung oben eben noch einmal mit 4 multipliziert. Könntest du unten nachher auch noch machen, das ändert ja nix an der Aussage.

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