Beweis einer Ungleichung

30.10.2005, 16:17

vektorraum

Beweis einer Ungleichung

Hallo!

Ich habe mal eine Frage - ich soll folgende Ungleichung beweisen:

$\begin{eqnarray*} 2(\sqrt{n+1}- \sqrt{n} ) < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1} ) \end{eqnarray*}$

Ich habe nun schon eine Idee wie ich es durch vollständige Induktion lösen könnte. Zuerst mal prüfe ich nach, ob die Ungleichung für n=1 gilt - das stimmt. Und dann halt für n+1.
Meine Idee ist jetzt, dass ich zwei Induktionen mache. Erst einmal für:

$\begin{eqnarray*} 2(\sqrt{n+1}- \sqrt{n} ) < \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

und dann für

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1} ) \end{eqnarray*}$

Ist die Idee erst mal so richtig, oder kann man es gar nicht so machen.
und wenn ja, wie kann ich die erste Ungleichung so abschätzen, dass es stimmt. Weil wenn ich es nur umforme, funktioniert es nicht, es kommt dann nämlich eine falsche Aussage heraus.

Schon mal danke im Voraus für eure Hilfe.

30.10.2005, 16:22

grybl

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RE: Beweis einer Ungleichung
verschoben

30.10.2005, 16:29

Gust

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RE: Beweis einer Ungleichung
1. das Ding ist nur für $\begin{eqnarray*} n \in [1; \infty [ \end{eqnarray*}$ definiert, oder?

2. ein bisschen Umformung - vielleicht hilfts was:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot (n+1)^{\frac {1}{2}} - 2 \cdot n^{\frac{1}{2}} < n^{-\frac{1}{2}} < 2 \cdot n^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot (n+1)^{\frac {1}{2}} \end{eqnarray*}$

30.10.2005, 16:37

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@vektorraum

Gibt es irgend einen besonderen Grund, warum du das über VI machen willst? Der "direkte" Weg, also über äquivalente Umformungen, scheint mir hier passender.

01.11.2005, 11:27

vektorraum

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Hallo! Danke erst mal für die Antworten, aber ich denke mit der Umformung komme ich wirklich erst mal nicht weiter.

@ arthur dent - wie meinst du dass mit VI.

Wenn ich das alles äquivalent umforme komme ich auf eine falsche Aussage!

01.11.2005, 11:44

mercany

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RE: Beweis einer Ungleichung

Zitat:

Original von Gust
2. ein bisschen Umformung - vielleicht hilfts was:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot (n+1)^{\frac {1}{2}} - 2 \cdot n^{\frac{1}{2}} < n^{-\frac{1}{2}} < 2 \cdot n^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot (n+1)^{\frac {1}{2}} \end{eqnarray*}$

Es muss am Ende (n-1) heißen! (War wohl nen kleiner Schreibfehler)

Also: $\begin{eqnarray*} 2 \cdot (n+1)^{\frac {1}{2}} - 2 \cdot n^{\frac{1}{2}} < n^{-\frac{1}{2}} < 2 \cdot n^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot (n-1)^{\frac {1}{2}} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

01.11.2005, 11:53

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Zitat:

Original von vektorraum
@ arthur dent - wie meinst du dass mit VI.

VI = Vollständige Induktion

Zitat:

Original von vektorraum
Wenn ich das alles äquivalent umforme komme ich auf eine falsche Aussage!

Dann sind deine Umformungen falsch.

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