Quadratische Ungleichung

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30.10.2005, 17:27	agramon	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Ungleichung Hallo, ich habe ein verständniss Frage generell zu Ungleichungen. Ich habe folgende Ungleichung gegeben: $\begin{eqnarray} x^{2} + 6x > 7 \end{eqnarray}$ dies forme ich nun um zu: $\begin{eqnarray} x^{2} + 6x +9 -9 > 7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x +3)^{2} > 16 \end{eqnarray}$ Daraus ist ja nun ersichtlich, dass x > 1 und x < -7 sein muß. Dies müßte sich aber doch auch rechnerisch bestimmen lassen? Wenn ich nun die Wurzel ziehe würde ich ja folgendes bekommen: $\begin{eqnarray} x + 3 > 4 und x + 3 > -4 \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} x > 1 und x + 3 > -7 \end{eqnarray}$ Dies entspricht aber nicht der oben ersichtlichen Lösung. Kann mir jemand meinen Fehler aufzeigen? Danke schonmal MfG, Agramon
30.10.2005, 17:37	babelfish	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du die wurzel ziehst kommt folgendes raus: $\begin{eqnarray} \mid x+3 \mid > 4 \end{eqnarray}$ du darfst schließlich nicht vergessen, dass auch -(x+3) beim wurzel ziehen heraus kommen könnte und durch den betrag wird dieser fall trotzdem mit einbezogen! wenn du jetzt diese ungleichung löst (mit fallunterscheidung) kommst du auch auf deine "erdachten" ergebnisse!
30.10.2005, 17:42	agramon	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank das hatte ich mir auch schon gedacht, aber war mir nicht sicher
30.10.2005, 18:06	agramon	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider doch noch ein dumme Frage diesbezüglich :/ ich habe die Aufgabe $\begin{eqnarray} x + 3 > \frac{x + 18}{3x - 2} \end{eqnarray}$ daraus sehe ich ja schonmal, dass x != $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ ist Wenn ich dies nun rechne komm ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} 3x^{2} + 7x - 6 > x + 18 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3x^{2} + 6x - 24 > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{2} + 2x - 8 > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x + 1)^{2} > 9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid x + 1 \mid < 3 \end{eqnarray}$ 1. Fall $\begin{eqnarray} x + 1 > 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x > 2 \end{eqnarray}$ 2. Fall $\begin{eqnarray} - x - 1 > 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x < -4 \end{eqnarray}$ Wie komme ich nun rechnerisch auf das richtige Ergebniss von: $\begin{eqnarray} -4 < x < \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x > 2 \end{eqnarray}$ Danke für die Hilfe
30.10.2005, 18:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kardinalfehler passiert beim Übergang von $\begin{eqnarray} x + 3 > \frac{x + 18}{3x - 2} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} 3x^{2} + 7x - 6 > x + 18 \end{eqnarray}$ . Da multiplizierst du nämlich mit $\begin{eqnarray} 3x-2 \end{eqnarray}$ und nimmst frisch-fröhlich an, dass dieser Wert für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ positiv ist. Das ist er natürlich nicht!
30.10.2005, 19:09	agramon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah danke Leider steh ich nun vor dem nächsten Problem :/ Mache ich nun direkt am Anfang eine Fallunterscheidung bleibt der erste Fall ja wie oben, nur das x < -4 kein Ergebniss ist. Rechne ich nun für den 2. Fall $\begin{eqnarray} -3x^{2} - 8x > 24 \end{eqnarray}$ komme ich am Ende auf $\begin{eqnarray} (x + \frac{4}{3})^{2} < -\frac{56}{9} \end{eqnarray}$ wo ich ja nun keine Wurzel raus ziehen könnte. Ist dieser Ansatz komplett falsch, oder habe ich mich nur oben irgendwie verrechnet?
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30.10.2005, 19:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir nicht folgen: Im zweiten Fall $\begin{eqnarray} 3x-2<0 \end{eqnarray}$ kommst du doch auf die Ungleichung $\begin{eqnarray} 3x^{2} + 7x - 6 < x + 18 \end{eqnarray}$ , d.h., gegenüber dem ersten Fall ändert sich "nur" das Relationszeichen! Was hast du denn gerechnet?
30.10.2005, 19:30	agramon	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm ich hatte angenommen das ich quasi Betragszeichen um $\begin{eqnarray} \mid 3x -2 \mid \end{eqnarray}$ mache, somit also mit einer positivien Zahl multipliziere. Daraus dann $\begin{eqnarray} -(3x-2)(x+3)>x+18 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow -(3x^{2}+9x-2x-6) > x+18 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow -3x^{2}-8x > 12 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 3x^{2}+8x < -12 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{2} + \frac{8}{3} x < -4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}-\frac{16}{9} < -4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x + \frac{4}{3})^{2} < - \frac{21}{9} \end{eqnarray*}$ (Bekomme bei den letzten drei Zeilen immer "! Undefined control sequence" daher ohne latex) Im vorherigen Post hatte ich das Vorzeichen der 6 vertauscht, aber bekomme nun immer noch etwas negatives raus. Hätte ich also einfach nur das Relationszeichen umdrehen sollen? edit: latex verbessert! "frac" statt "flac" babelfish
30.10.2005, 20:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Steht im Nenner $\begin{eqnarray} 3x-2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \|3x-2\| \end{eqnarray}$ ? Na also - was soll das dann jetzt mit den Beträgen? Die kannst du doch nicht einfach willkürlich in die Ursprungs-Ungleichung einsetzen! Die Regel ist doch ganz einfach: Multiplikation mit positivem Faktor - das Relationszeichen bleibt erhalten. Multiplikation mit negativemFaktor - das Relationszeichen kehrt sich um, also aus $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ wird $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ , aus $\begin{eqnarray} > \end{eqnarray}$ wird $\begin{eqnarray} < \end{eqnarray}$ , usw.
30.10.2005, 20:42	agramon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke.

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