Rechnen mit Bilinearformen

17.04.2008, 16:59

PimpWizkid

Rechnen mit Bilinearformen

Hallo zusammen,

ich komme bei einer Übungsaufgabe nicht weiter - glaube aber, dass ich alles soweit verstanden habe, nur bestimmt ne Kleinigkeit übersehen habe. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ eine Bilinearform auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ definiert durch eine der folgenden $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie die Teilmenge
$\begin{eqnarray*} X:=\{ x\in V|\beta(x,x)=0\} \end{eqnarray*}$
und zeichnen Sie die Menge. Welche der Bilinearformen ist nicht-ausgeartet? Können Sie der Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ansehen, ob $\begin{eqnarray*} \beta_{B} \end{eqnarray*}$ nicht-ausgeartet ist?

a) $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) ok, ich bin so vorgegangen:
$\begin{eqnarray*} \beta(x,x)={}^txBx=(x_1,x_2)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(x_1,x_2)\begin{pmatrix} x_1 \\ -x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =x_1x_1-x_2x_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow X=\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\in \mathbb R^2 | x_1=x_2\} \end{eqnarray*}$
Das würde also heißen, dass X im Koordinatensystem die 1. Winkelhalbierende ist.

So, nun zum "ausarten"...
Die Bedingung ist ja, dass $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht-ausgeartet ist, wenn $\begin{eqnarray*} \beta(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist und daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Also hab ich erstmal allgemein folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} \beta(x,y)={}^txBy=(x_1,x_2)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =x_1y_1-x_2y_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x_1y_1=x_2y_2 \end{eqnarray*}$

Und genau jetzt steh ich aufm Schlauch... Bin ich auf dem Holzweg? Ist das alles falsch? (Schade um die Tipparbeit Augenzwinkern

)

Bitte sagt, mir wie ich jetzt weiterkomme!

Danke schonmal,
PimpWizkid

17.04.2008, 18:28

TobeStar81

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RE: Rechnen mit Bilinearformen
Hallo PimpWizkid,

ich glaube, dass du dich am Anfang verrechnet hast, und zwar

$\begin{eqnarray*} x_1 x_1 - x_2 x_2 = 0 \Leftrightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

ist nicht ganz richtig. Dadurch ändert sich auch das aussehen der Menge X...

...zu deinem weiteren vorgehen, ich glaub du hast die Bedingung für nicht-ausgeartet soweit richtig hingeschrieben. Dann hast du eingesetzt und ich kann bei deiner zweiten Rechnung keinen Fehler sehen. Jetzt hast du ja die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x_1 y_1 = x_2 y_2 \end{eqnarray*}$

Dabei ist x ein fester Vektor und y ist frei wählbar. Du möchtest ja nun wissen, welche Werte die Komponenten des Vektors x annehmen können.
So könntest du nun selbst gewählte Vektoren y einsetzen. Wie verändert sich die Gleichung, wenn du y geschickt wählst?

Hoffe, das gab erst mal ein paar neue Denkanstöße!

Gruß

17.04.2008, 18:34

PimpWizkid

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RE: Rechnen mit Bilinearformen
Ich kann doch auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, oder?
Oder muss ich mit (+/-)x_1=(+/-)x_2 arbeiten? Dann wär die Menge im Koordinatensystem ja n X sozusagen...

17.04.2008, 23:33

TobeStar81

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RE: Rechnen mit Bilinearformen
Hmm, eigentlich möchtest du wenn du die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x_1^2 = x_2^2 \end{eqnarray*}$

hast nach einer Variablen auflösen. Sagen wir hier also nach x_1. Du ziehst also die Wurzel. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} x_1^2 = x_2^2\\ \Leftrightarrow x_1 = \pm x_2 \end{eqnarray*}$

Denn du kannst ja als Test eine der beiden Lösungen in die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x_1^2 - x_2^2 = 0 \end{eqnarray*}$

einsetzen und die Gleichung wäre erfüllt. Wichtig ist hier, dass du dir aussuchst, nach welcher der beiden Variablen du auflöst.

Mit deiner Annahme, dass deine Lösungsmenge anschließend quasi ein X im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ bildet, hast du wohl recht.

18.04.2008, 06:58

PimpWizkid(1)

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RE: Rechnen mit Bilinearformen
Ach ja... stimmt!!! Jetzt kann ich schon nicht mal mehr Gleichungen lösen Forum Kloppe

Danke dir!

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