Maximum-Likelihood Schätzer

17.04.2008, 20:08	InaK	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum-Likelihood Schätzer Guten Abend, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen... Seien $\begin{eqnarray} X_1,...X_n \end{eqnarray}$ unabhängig und identisch verteilt mit einer stetigen Verteilung, deren Dichte gegeben ist als $\begin{eqnarray} f(x) = \vartheta x^{\vartheta -1} 1_{(0,1)}(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0<\vartheta<\infty \end{eqnarray}$ . (a) Bestimme $\begin{eqnarray} \mu = E(X_i) \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ . (b) Bestimme den Maximum-Likelihood Schätzer für $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ . Bei (a) hab ich folgendes ausgerechnet: $\begin{eqnarray} \mu = \frac{\vartheta}{\vartheta+1} \end{eqnarray}$ . Aber bei (b) weiß ich leider nicht, was ich überhaupt maximieren muss und wie das gehen soll.
17.04.2008, 20:34	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab den gleichen Erwartungswert, sofern ich Dein $\begin{eqnarray} 1_{(0,1)} \end{eqnarray}$ richtig als Indikatorfunktion deute. Tja, nun die Frage was wir optimieren wollen. Ich nehme mal an wir haben eine Stichprobe der $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ was man bei der Maximum-Likelihood Methode macht ist die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(\vartheta \| X_1,X_2,...,X_n) \end{eqnarray}$ zu optimieren, das heisst die Parameter finden die unsere vorhandenen Daten am besten beschreiben. Die Likelihood ist dabei (wenn man nach bayes umformt) : $\begin{eqnarray} P(X_1,X_2,...,X_n\| \vartheta ) = \vartheta \left\{X\right\}^{\vartheta -1} 1_{(0,1)}(\{x\}) \end{eqnarray}$ Und das kennen wir. Da die X_i unabhängig sind, faktorisiert deine Wahrscheinlichkeit hier aus. Im Normalfall schaut man sich dann die log-likelihood an. Dein Schätzer ist dann der Parameter $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$
17.04.2008, 20:45	InaK	Auf diesen Beitrag antworten »
Also meinst du auch, dass ich $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ optimieren soll, weil mir schien es schon komisch mit dem $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ erschien. Meine Idee war erst für $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ : Da $\begin{eqnarray} \mu(\vartheta) \end{eqnarray}$ monoton steigend und $\begin{eqnarray} \mu(\vartheta) \to 1 \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \vartheta \to \infty \end{eqnarray}$ ), hatte ich erst $\begin{eqnarray} \mu = 1 \end{eqnarray}$ gedacht. Danke für deine Hilfe. Ina
17.04.2008, 20:55	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss auch nicht wozu ihr den Erwartungswert ausrechnet, aber eventuel ergibt sich ja was beim optimieren. Das mit dem $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ergibt keinen Sinn für den Maixmum-Likelihood-Schätzer. Der Schätzer ist der Wahrscheinlichste Parameter $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ . Und den bekommt man eben darüber das man, $\begin{eqnarray} P(\vartheta \| X_1,...,X_n) = \alpha \underbrace{P(X_1,...,X_n \| \vartheta )}_{\text{ likelihood}}P(\vartheta) \end{eqnarray}$ optimiert. Das Alpha spielt keine Rolle, das ist nur zur Normierung, und den Prior $\begin{eqnarray} P(\vartheta) \end{eqnarray}$ kannst Du, wenn nichts weiter gegeben ist als Konstant annehmen. (Obwohl es hier sehr viele Spielarten gibt zu fuchsen). Wie man eine Funktion optimiert, lernt man ja schon in der Schule, ableiten, Nullsetzen, maximum finden.
17.04.2008, 21:17	InaK	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke @ Mazze

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