dreifache Faltung von f(x) mit sich selbst

30.10.2005, 21:54

FaustFrankenstein

dreifache Faltung von f(x) mit sich selbst

Hi, ich habe eine Funktion f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ im Intervall -1 bis 1, ausserhalb dieses Intervalls aber immer 0 ist.
Diese Funktion soll nun dreimal mit sich selbst gefaltet werden.

Fuer das Intervall -1 < x < 0 erhalte ich f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ( x + 2 )
und fuer das Intervall 0 < x < 1 erhalte ich f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ( 2 - x )

Ich hoffe soweit ist das richtig.

Schliesslich erhalte ich dann diese Formel...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \int_{-1}^{0}~(x+2)f(x-x')~dx' + \frac{1}{4} \int_{0}^{1}~(2-x)f(x-x')~dx' \end{eqnarray*}$

Aber bei dieser erneuten Faltung bin ich ziemlich ratlos.... verwirrt

31.10.2005, 16:37

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Zitat:

Original von FaustFrankenstein
Fuer das Intervall -1 < x < 0 erhalte ich f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ( x + 2 )
und fuer das Intervall 0 < x < 1 erhalte ich f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ( 2 - x )

Ich hoffe soweit ist das richtig.

Leider nein: Es ist $\begin{eqnarray*} f_2(x) = \begin{cases} \frac{1}{4}(2+x) & \;\mbox{für}\; -2\leq x\leq 0\\ \frac{1}{4}(2-x) & \;\mbox{für}\; 0\leq x\leq 2\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

31.10.2005, 16:37

Leopold

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RE: dreifache Faltung von f(x) mit sich selbst

Zitat:

Ich vermute, du meinst hier nicht $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} (f \star f)(x) \end{eqnarray*}$ . Das Ergebnis scheint mir jedoch nicht richtig zu sein. Ich bekomme:

$\begin{eqnarray*} g(x) = (f \star f)(x) = \frac{1}{4} \left( 2 - |x| \right) \ \ \mbox{für} \ -2 \leq x \leq 2 \end{eqnarray*}$

Für alle andern $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ergibt sich 0. Dabei bin ich folgendermaßen vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} g(x) = (f \star f)(x) = \int_{-1}^1~f(t) \, f(x-t)~\mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int_{x-1}^{x+1}~f(s)~\mathrm{d}s \end{eqnarray*}$

Hierbei habe ich $\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ verwendet und im verbleibenden Integral $\begin{eqnarray*} s = x-t \, , \ \mathrm{dt} = - \mathrm{d}s \end{eqnarray*}$ substituiert. Und jetzt muß man die beiden Fälle

$\begin{eqnarray*} \text{(I)} \ \ x < -2 \ \ \text{oder} \ \ x >2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{(II)} \ \ -2 \leq x \leq 2 \end{eqnarray*}$

unterscheiden. Bei $\begin{eqnarray*} \text{(I)} \end{eqnarray*}$ ist der Integralwert 0, da das Intervall $\begin{eqnarray*} [x-1,x+1] \end{eqnarray*}$ das Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ nicht trifft. Und im Falle $\begin{eqnarray*} \text{(II)} \end{eqnarray*}$ kann man aufgrund der Intervalladditivität folgendermaßen zerlegen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_{x-1}^{x+1}~f(s)~\mathrm{d}s = \frac{1}{2} \left( \int_{-1}^{x-1}~f(s)~\mathrm{d}s + \int_{-1}^{1}~f(s)~\mathrm{d}s + \int_{1}^{x+1}~f(s)~\mathrm{d}s \right) \end{eqnarray*}$

Hier hat das mittlere Integral den Wert 1. Die restlichen beiden Integrale kann man mittels einer weiteren Fallunterscheidung

$\begin{eqnarray*} x \in [-2,0] \ \text{bzw.} \ x \in [0,2] \end{eqnarray*}$

berechnen.

31.10.2005, 18:02

FaustFrankenstein

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Richtig, ich meine mit f(x) eigentlich (f*f).

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} statt \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ OK klar, hatt ich auch raus, obwohl ich in den Grenzen -1 < x < 1 intergriert habe.
Hab ich dann auch bei meinen Integralen benutzt
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \int_{-1}^{0}~(x+2)f(x-x')~dx' + \frac{1}{4} \int_{0}^{1}~(2-x)f(x-x')~dx' \end{eqnarray*}$

Wobei diese Integrale dann (f*f*f) sind.

Wie Du mit der Fallunterscheidung

Bei (I) ist der Integralwert 0, da das Intervall [x-1,x+1] das Intervall [-1,1] nicht trifft. Und im Falle \text (II) kann man aufgrund der Intervalladditivität folgendermaßen zerlegen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_{x-1}^{x+1}~f(s)~\mathrm{d}s = \frac{1}{2} \left( \int_{-1}^{x-1}~f(s)~\mathrm{d}s + \int_{-1}^{1}~f(s)~\mathrm{d}s + \int_{1}^{x+1}~f(s)~\mathrm{d}s \right) \end{eqnarray*}$
Hier hat das mittlere Integral den Wert 1. Die restlichen beiden Integrale kann man mittels einer weiteren Fallunterscheidung

$\begin{eqnarray*} x \in [-2,0] \ \text{bzw.} \ x \in [0,2] \end{eqnarray*}$

berechnen.

auf diese Ergebnis kommst versteh ich nicht.

Wie seid Ihr denn auf diese Intervallgrenzen gekommen?

Schliesslich bleibt noch die Frage, wie ich die dritte Faltung berechne. Also die Integrale die ich oben rausbekam.

31.10.2005, 20:02

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Ausnahmsweise mal finde ich Leopolds Erklärung mit der Integralaufteilung in 3 Integrale eher umständlich:

Bleiben wir mal bei $\begin{eqnarray*} f_2(x) = (f \star f)(x) = \frac{1}{2} \int\limits_{x-1}^{x+1}~f(s)~\mathrm{d}s \end{eqnarray*}$

Wir wissen noch, dass der Integrand nur für $\begin{eqnarray*} s\in[-1,1] \end{eqnarray*}$ Werte ungleich Null liefert. Das bedeutet folgendes:

Für $\begin{eqnarray*} -2\leq x\leq 0 \end{eqnarray*}$ ist die untere Intervallgrenze $\begin{eqnarray*} x-1\leq -1 \end{eqnarray*}$ , wir können also das Integral unten bei -1 "kappen":

$\begin{eqnarray*} f_2(x) = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^{x+1}~f(s)~\mathrm{d}s \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 2 \end{eqnarray*}$ ist die obere Intervallgrenze $\begin{eqnarray*} x+1\geq 1 \end{eqnarray*}$ , wir können also das Integral oben bei +1 kappen:
$\begin{eqnarray*} f_2(x) = \frac{1}{2} \int\limits_{x-1}^{1}~f(s)~\mathrm{d}s \end{eqnarray*}$

Bei diesen grenzenmäßig zurechtgestutzten Integralen kann man dann auch sofort $\begin{eqnarray*} f(s)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ einsetzen und erhält die obigen Formeln:

Für $\begin{eqnarray*} f_3(x) = (f*f*f)(x) = (f*f_2)(x) \end{eqnarray*}$ geht man analog von

$\begin{eqnarray*} f_3(x) = \frac{1}{2} \int\limits_{-1}^{1}~f_2(x-t)~\mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int\limits_{x-1}^{x+1}~f_2(s)~\mathrm{d}s \end{eqnarray*}$

aus. In der Auswertung solltest du das Integral aufteilen, und vorher noch die 5 Fälle $\begin{eqnarray*} x<-3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} -3\leq x<-1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} -1\leq x<1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 1\leq x<3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3\leq x \end{eqnarray*}$ unterscheiden. Wenn du dir die Struktur genau ansiehst, weißt du auch, warum gerade diese Fallunterscheidung sinnvoll ist.

Aus Symmetrie-Gründen kann man sich auch auf 3 der 5 Fälle beschränken und die anderen 2 dann entsprechend übertragen.

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