abzählbarkeit cartesisches produkt

30.10.2005, 22:08

wurzelx

abzählbarkeit cartesisches produkt

hi,

ich habe hier eine aufgabe,bei der ich nicht wirklich vorankomme.
es geht um die abzählbarkeit von mengen:

M,N abzählbar -> MxN abzählbar

ich weiss,dass wenn eine menge abzählbar ist,dann muss sie auch surjektiv sein f: natürliche Zahlen -> M
aber wie sieht es bei cartesischem Produkt aus ? wir zeige ich die abzählbarkeit?? danke

30.10.2005, 22:16

Mathespezialschüler

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Verschoben

30.10.2005, 22:21

4c1d

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Versuch's doch mal mit der Boardsuche - das Thema gab's in den letzten Tagen schon mehrmals hier. Falls du darüber hinaus Fragen hast, kannst du die natürlich auch hier stellen

30.10.2005, 22:31

wurzelx

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bin dabei habe bis jetzt nicht wirklich etwas gefunden...

30.10.2005, 23:16

Mathespezialschüler

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Es geht z. B. genauso wie bei den rationalen Zahlen - mit der Cantorschen Paarungsfunktion.

Gruß MSS

31.10.2005, 01:23

JochenX

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RE: abzählbarkeit cartesisches produkt

Zitat:

Original von wurzelx
ich weiss,dass wenn eine menge abzählbar ist,dann muss sie auch surjektiv sein

aber über diese aussage denkst du bitte noch mal nach
ich weiß genau, was du meinst, aber mengen sind nie surjektiv, dass ist eine abbildungsigenschaft

also bitte versuche eine gewisse mathematische korrektheit in deinen aussage zu verwenden

..... dann muss es eine surjektive abbildung von..... nach.... geben......

31.10.2005, 11:11

Gamel

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Wenn M und N abzählbar sind, dann bedeutet das, dass man ihre Elemente durchnummerieren kann, so dass man sie auf diese Weise darstellen kann:
$\begin{eqnarray*} M = \{ a_1, a_2, \dots , a_m\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N = \{ b_1, b_2, \dots , b_n\} \end{eqnarray*}$

Das kartesische Produkt ist definiert, als
$\begin{eqnarray*} A \times B =_{def} \{(a,b) | a \in A \wedge b \in B\} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet also, dass jedes Element aus Menge M mit jedem Element aus Menge M verknüpft wird, und daher gibt es dann in der neuen Menge $\begin{eqnarray*} m*n \end{eqnarray*}$ Elemente.

$\begin{eqnarray*} M \times N = \{ (a_1,b_1), (a_1,b_2), \dots , (a_m,b_n)\} \end{eqnarray*}$

Da Du die Anzahl der Elemente der neuen Menge angeben kannst, ist diese somit auch abzählbar

31.10.2005, 16:19

wurzelx

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Zitat:

aber über diese aussage denkst du bitte noch mal nach

ok du hast recht...
Eine Menge heißt abzählbar,wenn es eine surjektive Abb: f: nat.Zahlen -> M gibt smile

Zitat:

Es geht z. B. genauso wie bei den rationalen Zahlen - mit der Cantorschen Paarungsfunktion.

Danke wir habens heute in der Übung besprochen smile

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