Maximum-Likelihood Schätzer 2

17.04.2008, 21:17

InaK

Maximum-Likelihood Schätzer 2

Ích hab da noch ne Aufgabe...

Seien $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängige und identisch gleichverteilt auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [\vartheta - \frac12, \vartheta + \frac12] \end{eqnarray*}$ . Seien $\begin{eqnarray*} X_{(1)} = min(X_1,...,X_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{(n)}=max(X_1,...,X_n) \end{eqnarray*}$ .

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} X_{(n)}-\frac12 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X_{(1)} + \frac12 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac12 (X_{(1)} + X_{(n)}) \end{eqnarray*}$ Maximum-Likelihood Schätzer von $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ sind.

Hier kann man nicht mit ableiten etc. arbeiten. Kann mir dazu jemand auch nen Tipp geben.

Ina

17.04.2008, 21:34

InaK

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Ich hatte schon versucht umzuformen, aber komme nicht auf nen Ergebnis. smile

17.04.2008, 21:49

Mazze

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Ich verstehe grade nicht genau was Deine Zufallsvariablen sind und zu wem die Schätzer gehören?

17.04.2008, 21:54

InaK

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Ich hab auch Probleme diese Aufgabe zu lösen.

Ich hab nur als Tipp bekommen, dass man mit den Intervallen was ändern soll und der Indikatorfunktion. Und dann sollte man sehen, dass die drei auch Maximum-Likelihood Schätzer sind.

17.04.2008, 21:56

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Wegen der Gleichverteilung ist die Likelihoodfunktion für $\begin{eqnarray*} \vartheta\in \left[X_{(n)} - \frac{1}{2} , X_{(1)} + \frac{1}{2} \right] \end{eqnarray*}$ positiv und konstant (!!!), für alle anderen $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ gleich Null. Also ist jedes $\begin{eqnarray*} \vartheta\in \left[ X_{(n)} - \frac{1}{2} , X_{(1)} + \frac{1}{2} \right] \end{eqnarray*}$ auch Maximumstelle und somit ML-Schätzer. Augenzwinkern

Etwas ungewöhnlich, aber so ist es nun mal.

EDIT: Ähem, "positiv und konstant" kann man hier auch genauer fassen: Sie ist dort genau gleich Eins. Augenzwinkern

17.04.2008, 22:03

InaK

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Das die Aufgabe so einfach ist, hätte ich dann nicht gedacht.

Vor allem weil sogar der Prof. gesagt hat, dass man umformen muss mit der Indikatorfunktion und so.

Aber deine Bergründung ist aber sehr logisch.

Danke schön für eure Hilfen @ Arthur Dent und Mazze

17.04.2008, 22:05

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Zitat:

Original von InaK
Vor allem weil sogar der Prof. gesagt hat, dass man umformen muss mit der Indikatorfunktion und so.

Naja, ordentlich aufschreiben solltest du die Likelihoodfunktion schon noch - das hat der Prof sicherlich gemeint! Was ich da geschrieben habe, fällt ja auch nicht vom Himmel, sondern will überlegt sein.

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