Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg

31.10.2005, 10:41

brunsi

Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg

Hier entsteht für alle BWL-Studenten, die zur Zeit im 1.Semester sind und keine Ahnung vom Stoff haben eine kleine Aufgabensammlung(Prof. Dr.... Skript) mit Musterlösungen.

Zur Vereinfachung aller Darstellungen wird die numerische Form anstatt der $\begin{eqnarray*} \alpha-numerischen \end{eqnarray*}$ für Tabellen und Ähnliches verwendet.

Aufagben für Berechnungen mit vektoren und Matrizen:

1) Eine Bank hat im zurückliegenden Jahr folgende Ergebnisse in ihren 5 verschiedenen Filialen erwirtschaftet [Zahlenangaben in Mio. DM]:

Die Filialen sind in der Reihenfolge von links nach rechts: Paris,N.Y.,Frankfurt,London,Tokyo.

Zeilenweise, von oben nach unten, steht dann: Zinsergebnis,Provisionsergebnis,Handelsergebnis,Verwaltungsaufwand.

Im Nachfolgenden sei die Matrix $\begin{eqnarray*} RD_{4x5} \end{eqnarray*}$ dargestellt:
$\begin{eqnarray*} RD_{4x5}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 7 & 8& 4 \\ 4 & 4 & 4& 8& 8 \\ 2 & 5 & 9 & 4& 8 \\ 3 & 5 & 5 & 1 & 8 \ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabenstellungen der Teilaufgaben erfolgen jeweils in dem zu bearbeitenden Abschnitt.

Nachfolgend sei noch anzumerken, dass Editierungen folgen können um einen Sachverhalt einfacher darstellen zu können.

31.10.2005, 11:02

Egal

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Ich hab das Thema mal verschoben da es mir in Geometrie etwas deplaziert vorkam.

31.10.2005, 11:07

brunsi

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RE: Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg
zu 1.

Die Zahlen in der Tabelle sollen nachfolgend als eine 4x5-Matrix RD aufgefasst werden.

geben Sie eine geeignete Permutationsmatrix C an, die mittels Matrizenmultiplikation dafür sorgt, dass in der Tabelle die Filialen in absteigender Reihenfolge gemessen an ihrem Handelsergebnis(3.Zeile) erscheinen.
Wie sieht das Matrizenprodukt aus?

Lösung:

gegeben: Matrix $\begin{eqnarray*} RD_{4x5} \end{eqnarray*}$

gesucht: Permutationsmatrix $\begin{eqnarray*} C_{5x5} \end{eqnarray*}$ , Matrizenprodukt $\begin{eqnarray*} MP_{4x5} \end{eqnarray*}$

Es soll also gelten:

$\begin{eqnarray*} RD_{4x5}\cdot C_{5x5} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} MP_{4x5} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet also für die Permutationsmatrix $\begin{eqnarray*} C_{5x5} \end{eqnarray*}$ , das es sich um eine Spaltenpermuationsmatrix handelt, da die Filialen in absteigender Reihenfolge(ausgehend von der 3.Zeile) angeordnet werden sollen:

$\begin{eqnarray*} C_{5x5}=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 0& 1 \\ 0 & 0 & 1& 0& 0\\ 1 & 0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0& 0\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} RD_{4x5}\cdot C_{5x5}=MP_{4x5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 7 & 8& 4 \\ 4 & 4 & 4& 8& 8 \\ 2 & 5 & 9 & 4& 8 \\ 3 & 5 & 5 & 1 & 8 \ \end{vmatrix} \cdot\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 0& 1 \\ 0 & 0 & 1& 0& 0\\ 1 & 0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0& 0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 7 & 4 & 1 & 8& 1 \\ 4 & 8 & 4& 8& 4 \\ 9 & 8 & 5 & 4& 2 \\ 5 & 8 & 5 & 1 & 3 \ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

31.10.2005, 11:33

brunsi

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RE: Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg
zu 2.

Angenommen eine Aufstellung der Gesamtperformance nach Filialen in Form einer $\begin{eqnarray*} P_{5x1} \end{eqnarray*}$ -Matrix sei gewünscht.
Wie ist dies in Vektor-Matruix-Notation darzustellen und auszurechnen?

Es gilt die Ausgangsmatrix!!!

Lösung:

gegeben: $\begin{eqnarray*} RD_{4x5} \end{eqnarray*}$

gesucht: $\begin{eqnarray*} V_{1x4} \end{eqnarray*}$ -Matrix und $\begin{eqnarray*} P_{5x1} \end{eqnarray*}$ -Matrix

Aufstellen einer Matrix $\begin{eqnarray*} V_{4x1} \end{eqnarray*}$ , die dafür sorgt, dass die einzelnen Zeilen jeder Spalte aufsummiert werden.

Daher ist $\begin{eqnarray*} V_{4x1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\-1 \end{pmatrix}\Rightarrow V'_{1x4}=\begin{pmatrix}1\ 1\ 1\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es soll gelten:

$\begin{eqnarray*} ((V_{4x1})'\cdot RD_{4x5})'=P_{5x1} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet für die Gesamtperformance:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\ 1\ 1\ -1\end{pmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 7 & 8& 4 \\ 4 & 4 & 4& 8& 8 \\ 2 & 5 & 9 & 4& 8 \\ 3 & 5 & 5 & 1 & 8 \ \end{vmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 19\\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit ist die gesuchte Matrix und somit die Gesmatperformance nach Filialen:

$\begin{eqnarray*} P_{5x1}=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 19\\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

31.10.2005, 12:45

brunsi

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RE: Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg
zu 3.

Angenommen, die Zahlenwerte lägen noch in dern jewieligen Fremdwährungen vor. Auf Konzernebene soll das Zins-, Provisions- und Handelsergebnis sowie der gesamte Verwaltungsaufwand ermittelt werden.

Für die Wechselkurse sollten Sie dabei folgende Werte unterstellen(Abweichung vom Aufgabenskript, da Wechselkurse fürs weitere Rechnen bereits in der korrekten Form notiert werden!!!):

1 Franc =0,5 DM
1 Dollar =1,5 DM
1 DM =1 DM
1 Pfund =2,5 DM
1 Yen =0,1 DM

Das Konzernergebnis sein in Form einer 1x4-Matrix gewünscht. Wie ist dies in Vektor-Matrix-Notation darzustellen und auszurechnen?

Lösung:

gegeben: $\begin{eqnarray*} RD_{4x5} \end{eqnarray*}$ -Matrix und die Wechselkurse, die zu einem Vektor $\begin{eqnarray*} m_{5x1}=\begin{pmatrix} 0,5 \\ 1,5 \\ 1\\2,5\\0,1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zusammengefasst werden

gesucht: Matrix $\begin{eqnarray*} S_{1x4} \end{eqnarray*}$ , die das Konzernergebnis angibt

Es muss daher gelten:

$\begin{eqnarray*} RD_{4x5}\cdot m_{5x1}=S_{1x4}\Rightarrow S'_{1x4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 7 & 8& 4 \\ 4 & 4 & 4& 8& 8 \\ 2 & 5 & 9 & 4& 8 \\ 3 & 5 & 5 & 1 & 8 \ \end{vmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0,5 \\ 1,5 \\ 1\\2,5\\0,1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 29,4 \\ 32,8\\ 28,3\\17,3 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 29,4\ 32,8\ 28,3\ 17,3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit ist das Konzernergebnis in $\begin{eqnarray*} S_{1x4} \end{eqnarray*}$ -Darstellung:

$\begin{eqnarray*} S_{1x4}=\begin{pmatrix} 29,4\ 32,8\ 28,3\ 17,3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

31.10.2005, 14:47

brunsi

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RE: Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg
zu 4.

Angenommen, für das lfd. Jahr soll auf Basis des zurückliegenden Jahres eine Top-Down-Planung erstellt werden. Vorstandsseitig wird erwartet, dass das Zinsergebnis um 5% und der Verwaltungsaufwand um 1% steigt, das Provisionergebnis konstant bleibt und das Handelsergebnis um 10% zurückgeht. Wie ist dies in Vektor Matrix-Notation darzustellen und auszurechnen? Ergebnis soll eine 4x5 Matrix RDN sein.

Lösung:

gegeben: $\begin{eqnarray*} RD_{4x5} \end{eqnarray*}$ -Matrix (ist zu wählen, da diese die Daten aus dem
zurückliegenden Jahr beinhaltet)

-Zinsergebnis um 5% steigen
-Verwaltungsaufwand um 1% steigen
-Provisionergebnis konstant
-Handelsergebnis um 10% zurückgeht

gesucht: -Top-Down-Planung in Form einer $\begin{eqnarray*} RDN_{4x5} \end{eqnarray*}$ -Matrix
-Diagonalmatrix

Es soll gelten:

$\begin{eqnarray*} G_{4x4}\cdot RD_{4x5} =RDN_{4x5} \end{eqnarray*}$

Aufstellen einer Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} G_{4x4} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} G_{4x4}=\begin{vmatrix} 1,05& 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0,9 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1,01 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit ist dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1,05& 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0,9 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1,01 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 7&8&4 \\ 4 & 4& 4&8&8 \\ 2 & 5 &9&4&8 \\3 & 5 & 5&1&8 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1,05 & 1,05 & 7,35&8,4&4,2 \\ 4 & 4 & 4&8&8 \\ 1,8 & 4,5 & 8,1&3,6&7,2 \\3,03 & 5,05 & 5,05&1,01&8,08 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

@werner: ich hab nur nen Tag pausiert, bin ja nun wieder da Tanzen

01.11.2005, 21:18

riwe

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RE: Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg
was ist los, brunsi?
heute ist morgen!
werner

02.11.2005, 13:10

brunsi

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RE: Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg
Aufgabe 2:

In einem Land habe eine Bundesbehörde Fahrzeugneuzulassungen nach Herstllern und Fahrzeugtyp ausgewertet und in folgender Tabelle aufbereitet [Zahlen in 100 Stück]:

Von oben nach unten sind die Fahrzeugtypen und von links nach rechts die Hersteller in alphabetischer Reihenfolge (griechisches Alphabet) aufgeführt:

$\begin{eqnarray*} Z_{3x4}=\begin{vmatrix} 0& 0 & 10&8 \\ 4 & 0 & 2&0\\ 4 &6 & 8&0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Zahlen in der tabelle sollen nachfolgend als eine $\begin{eqnarray*} Z_{3x4} \end{eqnarray*}$ -Matrix aufgefasst werden.

zu 1.

Ermitteln Sie eine Tabelle $\begin{eqnarray*} GZ \end{eqnarray*}$ (dim GZ=1x3) der Gesamtzulassungen nach Fahrzeugtypen. Wie ist dies in Vektor-Matrix-Notation (1 Matrix 1Vektor) darzustellen und auszurechnen?

Lösung:

gegeben: $\begin{eqnarray*} Z_{3x4} \end{eqnarray*}$ -Matrix

gesucht: $\begin{eqnarray*} GZ_{1x3} \end{eqnarray*}$ und der die Matrix $\begin{eqnarray*} V_{4x1} \end{eqnarray*}$ , deren Komponenten alle 1 sind.

Es soll gelten: $\begin{eqnarray*} Z_{3x4}\cdot V_{4x1}=(GZ_{3x1})' \end{eqnarray*}$

Aufstellen einer Matrix $\begin{eqnarray*} V_{4x1} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} V_{4x1}=\begin{vmatrix} 1\\1\\ 1 \\1\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0& 0& 10&8\\ 4 & 0 & 2&0 \\ 4 & 6 & 8& 0 \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} 1\\1\\ 1 \\ 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 18\\6\\ 18 \end{vmatrix}\Rightarrow GZ_{1x3}=\begin{pmatrix} 18\ 6\ 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit ist der Vektor der Gesamtneuzulassungen nach Fahrzeugtypen:

$\begin{eqnarray*} GZ_{1x3}=\begin{pmatrix} 18\ 6\ 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.11.2005, 13:33

brunsi

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RE: Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg
zu 2.

Angenommen die Hersteller A,B und D beabsichtigen eine Fusion, da Sie nicht als Vollanbieter am Markt auftreten können. Welche Gesamtneuzulassungszahl wäre für das fusionierte Unternehmen auf Basis der aktuellen Neuzulassung zu erwarten, wenn Fachleute zusätzlich für den Bereich der Spezialfahrzeuge (3.Zeile) dem fusionierten Unternehmen einen Zuwachs um 10% prognostizieren? Wie ist dies in Vektor-Matrix-Notation (2 Vektoren 1 Matrix) darzustellen und auszurechnen?

Lösung:

gegeben: $\begin{eqnarray*} Z_{3x4} \end{eqnarray*}$ -Matrix,

gesucht:
- Gesamtneuzulassung für das fusionierte Unternehmen mit Steigerung des
Spezialfahrzeugsektors um 10% bezeichnet als Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$

Es soll gelten: $\begin{eqnarray*} Z_{3x4}\cdot X_{4x1}=Y_{1x3}\cdot SZ_{3x1}=M_{1x1} \end{eqnarray*}$

Aufstellen einer Matrix $\begin{eqnarray*} X_{4x1} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} X_{4x1}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit ist dann die Matrix $\begin{eqnarray*} Y_{1x3} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 10&8 \\ 4 & 0 & 2&0 \\ 4 & 6 & 8 & 0 \end{vmatrix} \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 4+6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufstellen einer $\begin{eqnarray*} Y_{1x3} \end{eqnarray*}$ -Matrix um diese drei Komponenten noch zu kommulieren und gleichzeitig auch schon den Zuwachs von 10% für das fusionierte Unternehmen zu berücksichtigen:

$\begin{eqnarray*} Y_{1x3}=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1,1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Y_{1x3}\cdot SZ_{3x1}=\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 10 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1,1 \end{pmatrix}=23 \end{eqnarray*}$

Damit beträgt die Gesamtneuzulassungszahl des fusionierten Unternehmens $\begin{eqnarray*} M_{1x1}=23 \end{eqnarray*}$

So hab meinen Denkfehler verbessert.Danke Dir Mike!!

03.11.2005, 08:38

brunsi

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RE: Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg
zu 3.

Fachleute erwarten im nächsten Jahr im PKW-Bereich einen Neuzulassungsanstieg um 25% und wegen mangelnder Investitionstätigkeit im LKW und Spezialfahrzeugbereich einen Rückgang um 50%. Welche Neuzulassungen $\begin{eqnarray*} PZ_{3x4} \end{eqnarray*}$ -Matrix sind zu erwarten?
Wie ist dies in Vektor-Matrix-Notation (2 Matrizen) darzustellen udn auszurechnen?

Lösung:

gegeben: $\begin{eqnarray*} Z_{3x4} \end{eqnarray*}$ -Matrix

gesucht: Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} D_{3x3} \end{eqnarray*}$ , die die oben fettmarkierten prozentualen Veränderungen enthält.

Es soll gelten:

$\begin{eqnarray*} D_{3x3}\cdot Z_{3x4}=PZ_{3x4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1,25 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5& 0\\ 0 & 0&0,5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0& 0 & 10&8 \\ 4 & 0& 2&0\\ 4 & 6&8&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0& 0 & 12&10 \\ 2 & 0& 1&0\\ 2 & 3&4&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hätte ich die Diagonalmatrix D an ihrer Nebendiagonalen verändern müssen, wenn ich von rechts anstatt von links multipliziert hätte?

03.11.2005, 09:20

derkoch

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RE: Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg

Zitat:

Original von brunsi

$\begin{eqnarray*} Y_{1x3}=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1,1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Y_{1x3}\cdot SZ_{3x1}=\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 4+6 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1,1 \end{pmatrix}=22,1 \end{eqnarray*}$

Damit beträgt die Gesamtneuzulassungszahl des fusionierten Unternehmens $\begin{eqnarray*} M_{1x1}=22,1 \end{eqnarray*}$

So das scheint mir etwas suspect zu sein, denn in unserem Skript steht als Lösung 23 anstatt 22,1. hab ich nen fehler drin? Big Laugh

naja! bei mir ist 11+12= 23! Augenzwinkern

03.11.2005, 15:42

brunsi

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RE: Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg
Ansage

Alles Roger^^. Hab meinen kleinen dusselfehler entdeckt. habe anstatt 10*1,1 zu rechnen nur 1*1,1 gerechnet und das kommt dann ja auch nicht hin.

LOL Hammer

07.11.2005, 10:42

brunsi

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RE: Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg
In einer Region treiben die Länder A,B,C und D regen Handel. Die folgende Matrix gibt die Exporte und Importe der Länder untereinander an [Zahlenangaben in Mio. €]:

Von rechts nach links sind die Länder A,B,C und D eingetragen

von oben nach unten: Länder A,B,C und D

$\begin{eqnarray*} T_{4x4}=\begin{pmatrix}0& 6 & 12&6 \\ 5 & 0& 8&6\\ 6 & 3&0&9 \\ 4 & 6&8&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu 1: Ermitteln Sie die Matrix $\begin{eqnarray*} BT \end{eqnarray*}$ der bilateralen Handelsüberschüsse respektive -defizite. Wie ist dies In Vektor-Matrix-Notation (2 Matrizen) darzustellen und auszurechnen? Was ist die Besonderheit der quadratischen matrix $\begin{eqnarray*} BT \end{eqnarray*}$ ?

Lösung:

gegeben: Matrix $\begin{eqnarray*} T_{4x4} \end{eqnarray*}$

gesucht: $\begin{eqnarray*} BT_{4x4} \end{eqnarray*}$ und die Matrix $\begin{eqnarray*} T_{4x4}' \end{eqnarray*}$

Es soll gelten:

$\begin{eqnarray*} T_{4x4}- T_{4x4}'=BT_{4x4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 5 & 6& 4\\ 6& 0 & 3 &6\\ 12 & 8&0& 8\\ 6 & 6 & 9& 0 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0& 6 & 12&6 \\ 5 & 0& 8&6\\ 6 & 3&0&9 \\ 4 & 6&8&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1& -6& -2\\ 1& 0 & -5 &0\\ 6 & 5&0& -1\\ 2 & 0 & 1& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So und noch etwas dazugelernt LOL Hammer

07.11.2005, 13:42

brunsi

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RE: Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg
zu 2.

Angenommen, Sie sollten ermitteln, welches Land insgesamt einen Handelsbilanzüberschuss bzw. Handelsbilanzdefizit erwirtschaftet hat. Wie ist dies in Vektor-Matrix-Notation (2 Vektoren 2 Matrizen) darzustellen und auszurechnen?

Lösung:

gegeben: $\begin{eqnarray*} BT_{4x4} \end{eqnarray*}$ -Matrix sowie die Ausgangsmatrix $\begin{eqnarray*} T_{4x4} \end{eqnarray*}$

gesucht: Matrix $\begin{eqnarray*} V_{4x1} \end{eqnarray*}$ sowie der Kommulierungsvektor $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , dessen Komponenten 1 sind.

Es soll gelten:

$\begin{eqnarray*} (T_{4x4}-T_{4x4}')\cdot s=BT_{4x4}\cdot S_{4x1}=V_{4x1} \end{eqnarray*}$

So ich werde die Gleichung nun rechts vom ersten Gleichheitszeichen fortsetzen, da diese bereits in einem vorherigen Schritt erarbeitet wurde.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1& -6& -2\\ 1& 0 & -5 &0\\ 6 & 5&0& -1\\ 2 & 0 & 1& 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9 \\ 4 \\ -10 \\-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit hat Land A den größen Handelsbilanzüberschuss und Land C das größe Handelsbilanzdefizit.

07.11.2005, 14:01

brunsi

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RE: Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg
zu 3.

Angenommen, das Land C plane eine rigidere Handelspolitik, wonach Importe um ein viertel zurückgehen sollen bei einer gleichzeitigen Steigung der Exporte um ein Drittel. Welche neue Handelsmatrix $\begin{eqnarray*} TN_{4x4} \end{eqnarray*}$ ergibt sich ceteris paribus bei einer erfolgreichen Umsetzung der Politik?

Wie ist dies in Vektor-Matrix-Notation (3 Matrizen) darzustellen und asuzurechnen?

Lösung:

gegeben: $\begin{eqnarray*} BT_{4x4} \end{eqnarray*}$ -Matrix

gesucht: $\begin{eqnarray*} SV_{4x4} \end{eqnarray*}$ -Matrix, die $\begin{eqnarray*} C_{4x4} \end{eqnarray*}$ -Matrix Importe von 75% und $\begin{eqnarray*} D_{4x4} \end{eqnarray*}$ -Matrix Exporte von 133% führt.

Es soll gelten:

$\begin{eqnarray*} BT_{4x4}\cdot C_{4x4}\cdot D_{4x4}=SV_{4x4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 6& 9& 6\\ 5& 0 & 6 &6\\ 6 & 3 & 0& 9\\4&6&6&0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0 & 0&0 \\ 0 & 1 & 0&0 \\ 0 & 0 & 1,33&0 \\ 0 & 0 & 0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1& 0 & 0&0 \\ 0 & 1 & 0&0 \\ 0 & 0 & 0,75&0\\ 0 & 0 & 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 6& 9& 6\\ 5& 0 & 6 &6\\ 8 & 4 & 0& 12\\4&6&6&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

11.11.2005, 12:23

brunsi

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RE: Mathematik für BW 1.Semester FH Flensburg
Aufgabe 4:

In einer Großstadt sind Rathaus,Oper,Schloß und Museum von Taxen häufig angefahrene Touristenziele.

Die folgende Matrix $\begin{eqnarray*} D_{4x4} \end{eqnarray*}$ gibt die Entfernungen der 4 Ziele untereinander an
[Zahlen angaben in km]:

in den Spalten von links nach Rechts sind: Rathaus,SChloß,Oper,Museum

in den Zeilen von oben nach unten: Rathaus,SChloß,Oper,Museum

$\begin{eqnarray*} D_{4x4}=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 2&4 \\ 5 & 0 & 8&6 \\ 2 & 8 & 0&9\\ 4 & 6 & 9&0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

zu 1.: Da das Rathaus nur einen kurzen Weg vom Bahnhof entfernt ist, soll die Matrix so mit geeigneteten Permutationsmatrizen umgeformt werden, dass die anderen Ziele in aufsteigender Entfernung erscheinen.

Lösung:

gegeben: $\begin{eqnarray*} D_{4x4} \end{eqnarray*}$

gesucht: $\begin{eqnarray*} C_{4x4} \end{eqnarray*}$ -Zeilen-Permutationsmatrix und $\begin{eqnarray*} F_{4x4} \end{eqnarray*}$ -Spaltenpermutationsmatrix, sowie die neue anordnungsmatrix $\begin{eqnarray*} S_{4x4} \end{eqnarray*}$

Es soll gelten:

$\begin{eqnarray*} S_{4x4}=C_{4x4}\cdot D_{4x4}\cdot F_{4x4} \end{eqnarray*}$

Für die Zeilenpermutationsmatrix $\begin{eqnarray*} C_{4x4} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} C_{4x4}=c_1,c_2,c_3,c_4=1,4,2,3 \end{eqnarray*}$

Daher lautet die Zeilenpermutationsmatrix $\begin{eqnarray*} C_{4x4}:=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0&0 \\ 0 & 0 & 1&0 \\ 0 & 0& 0&1\\ 0 & 1 & 0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Zwischenmatrix ist also:

$\begin{eqnarray*} C_{4x4}\cdot D_{4x4}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0&0 \\ 0 & 0 & 1&0 \\ 0 & 0& 0&1\\ 0 & 1 & 0&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{vmatrix} 0 & 5 & 2&4 \\ 5 & 0 & 8&6 \\ 2 & 8 & 0&9\\ 4 & 6 & 9&0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 2&4 \\ 2 & 8 & 0&9 \\ 4 & 6 & 9&0\\ 5 & 0 & 8&6 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

So nun ergibt sich die permutierte Matrix $\begin{eqnarray*} S_{4x4} \end{eqnarray*}$ aus folgender Gleichung:

$\begin{eqnarray*} S_{4x4}=C_{4x4}\cdot D_{4x4}\cdot F_{4x4} \end{eqnarray*}$

Bestimmung der Spaltenpermutationsmatrix $\begin{eqnarray*} F_{4x4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{4x4}=z_1,z_2,z_3,z_4=1,3,4,2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{4x4}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0&0 \\ 0 & 0 & 0&1 \\ 0 & 1 & 0&0\\ 0 & 0 & 1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_{4x4}=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 2&4 \\ 2 & 8 & 0&9 \\ 4 & 6 & 9&0\\ 5 & 0 & 8&6 \end{vmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0&0 \\ 0 & 0 & 0&1 \\ 0 & 1 & 0&0\\ 0 & 0 & 1&0 \end{pmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 2 & 4&5 \\ 2 & 0 & 9&8 \\ 4 & 9 & 0&6\\ 5 & 8 & 6&0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

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