rekursive Folge

31.10.2005, 11:15

HDL

rekursive Folge

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} a_1 &=& 3\\ a_{n+1} &=& \frac{1}{3+a_n^2} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist, dass die Folge konvergiert und der Grenzwert soll bestimmt werden.

Habe $\begin{eqnarray*} a_2=\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3=\frac{144}{433} \end{eqnarray*}$ also ungefähr $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_4=\frac{9}{28} \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} a_3=\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$

Damit komme ich aber nicht weiter!

Bitte um Hilfe!

Danke schon jetzt!

edit (AD): Das LaTeX etwas lesbarer gestaltet.

31.10.2005, 11:25

lego

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jede monoton fallende, nach unten beschränkte folge konvergiert

edit: sry, nacheditiert hab mich verlesen

31.10.2005, 12:30

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$\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist nicht monoton fallend, sondern um den Grenzwert "alternierend".

Allgemeiner Hinweis: Falls eine rekursiv definierte Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ der Struktur $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=f(a_n) \end{eqnarray*}$ mit einer stetigen Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einen Grenzwert besitzt, dann ist dieser Grenzwert $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , d.h., es muss $\begin{eqnarray*} f(g)=g \end{eqnarray*}$ gelten.

Aber Vorsicht: Das heißt nicht, dass allein aus der Existenz von Fixpunkten von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf die Konvergenz der Folge geschlossen werden darf!

31.10.2005, 13:33

lego

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ja sry, wie gesagt, komplett verplant, nichtmal mitbekommen, dass es sich um eine rekursive Folge handelt Schläfer

31.10.2005, 16:18

HDL

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ist nicht monoton fallend, sondern um den Grenzwert "alternierend".

Was bedeutet nun um den Grenzwert alternierend?
Die Funktion ist also nicht konvergent und wie ist das nun mit dem Grenzwert, wie komme ich da drauf?

31.10.2005, 16:25

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Im vorliegenden Fall ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3+x^2} \end{eqnarray*}$ . Angenommen, $\begin{eqnarray*} g = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ existiert, dann führt die Fixpunktgleichung $\begin{eqnarray*} f(g)=g \end{eqnarray*}$ auf die kubische Gleichung $\begin{eqnarray*} g^3+3g-1=0 \end{eqnarray*}$ . Diese Gleichung hat nur eine reelle Lösung, für die wegen des Zwischenwertsatzes $\begin{eqnarray*} g\in\left(0,\frac{1}{3}\right) \end{eqnarray*}$ gelten muss. Für die Konvergenzuntersuchung betrachte man zweckmäßigerweise die Differenzfolge $\begin{eqnarray*} (d_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d_n=a_n-g \end{eqnarray*}$ , und zeigt, dass dieses $\begin{eqnarray*} (d_n) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

P.S.: Mit "alternierend" meine ich, dass die Differenzfolge $\begin{eqnarray*} (d_n) \end{eqnarray*}$ alternierend ist, d.h., von Folgenglied zu Folgenglied das Vorzeichen wechselt.

31.10.2005, 16:53

Leopold

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Wenn ein Fixpunktsatz zur Verfügung steht, könnte man diesen auf $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ anwenden, um sich die Konvergenzuntersuchung zu erleichtern. Hinreichendes Kriterium: $\begin{eqnarray*} \left| f'(x) \right| \leq \gamma <1 \end{eqnarray*}$ in einem geeignet gewählten Intervall.

Die Fixpunktgleichung kann man mit der Substitution $\begin{eqnarray*} g = h - \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$ lösen. Man erhält damit eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} h^3 \end{eqnarray*}$ . Und der goldene Schnitt läßt grüßen ...

31.10.2005, 17:08

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Zitat:

Original von Leopold
Hinreichendes Kriterium: $\begin{eqnarray*} \left| f'(x) \right| \leq \gamma <1 \end{eqnarray*}$ in einem geeignet gewählten Intervall.

Wobei im vorliegenden Fall so eine Abschätzung bequemerweise sogar auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ klappt. Augenzwinkern

Und ohne Fixpunktsatz dauert der Nachweis auch nur unwesentlich länger.

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