Schwarzfahrer - Sigmaintervall, Signifikanztest

17.04.2008, 23:27

Ari

Schwarzfahrer - Sigmaintervall, Signifikanztest

Hey ihr,

Stochastik ist mir doch etwas fremd geblieben musste ich feststellen..

Helft mir bitte bei folgender Aufgabenstellung:

Die Zufallsgröße X: "Anzahl der Schwarzfahrer" ist binomialverteilt mit $\begin{eqnarray*} n=9600 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=0,4 \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ so, dass gilt
$\begin{eqnarray*} P(\mu-r\cdot\sigma\leq X\leq\mu+r\cdot\sigma)=0,5 \end{eqnarray*}$ . Interpretieren Sie das Ergebnis.

Bis dahin kein Problem - mit Substitution erhalte ich $\begin{eqnarray*} r=0,675 \end{eqnarray*}$ , was auch Sinn macht, da die Wahrscheinlichkeit im $\begin{eqnarray*} 1\sigma \end{eqnarray*}$ -Intervall bereits um die 68 Prozent beträgt. Mit $\begin{eqnarray*} \mu=3840 \end{eqnarray*}$ sind die Integrationsgrenzen dann $\begin{eqnarray*} [3808; 3872] \end{eqnarray*}$ .
Ist die Interpretation einfach nur, dass zu 50% zwischen 3808 und 3872 Fahrgäste schwarz fahren?

Im Weiteren soll herausgefunden werden, ob sich der Anteil der Schwarzfahrer stark vergrößert hat. Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll $\begin{eqnarray*} \alpha=0,05 \end{eqnarray*}$ betragen.
Da wir nur $\begin{eqnarray*} p=0,4 \end{eqnarray*}$ kennen, ist das die Nullhypothese. die Alternativhypothese besagt dann, dass die Wahrscheinlichkeit wesentlich größer ist. Um eine Entscheidung zu treffen, liegen zwei verschiedene Stichproben mit $\begin{eqnarray*} n_1=150 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_2=10000 \end{eqnarray*}$ vor. Dazu sind willkürlich drei verschiedene Wahrscheinlichkeiten gewählt und der Fehler 2. Art notiert worden.
Für welche Stichprobe sollte man sich entscheiden, wenn man sich dafür interessiert, ob der Anteil der Schwarzfahrer tatsächlich stark gestiegen ist, wenn nach wie vor $\begin{eqnarray*} \alpha=0,05 \end{eqnarray*}$ ist? Die Entscheidung soll nicht allein auf Grundlage der Fehlerwahrscheinlichkeiten getroffen werden.
Mein Problem: diese Tabelle habe ich gar nicht weiter beachtet. Aus der Angabe für gleichbleibenden Fehler 1. Art habe ich Annahme- und Verwerfungsbereich der jeweiligen Stichprobe bestimmt. Je größer der Annahmebereich, umso größer der Fehler 2. Art. Ist der Fehler 2. Art groß, fällt die Anzahl der Schwarzfahrer aber in den Verwerfungsbereich, ist die Aussage über einen deutlichen Anstieg doch eindeutiger als bei einem kleinen Annahmebereich, oder?
Jedenfalls hätte ich mich dann für $\begin{eqnarray*} n_1=150 \end{eqnarray*}$ entschieden, obwohl mit steigender Versuchsanzahl die Genauigkeit ja zunimmt...

Bin dankbar für jede Hilfe smile

Liebe Grüße,
Ariane

18.04.2008, 22:54

Zellerli

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Zitat:

Ist die Interpretation einfach nur, dass zu 50% zwischen 3808 und 3872 Fahrgäste schwarz fahren?

Richtig. Es wird zu 50% ein Ergebnis im Bereich [3808;3872] erzielt.

Zum Hypothesentest.
Du meinst: Wenn man einen großen Fehler 2. Art hat, also einen gestiegenen Schwarzfahreranteil irrtümlich noch als "normal" bezeichnet, dann muss der Anstieg des Schwarzfahreranteils schon extrem sein, damit man die Hypothese verwirft und tatsächlich sagt: Der Anteil ist gestiegen.
In sofern könnte man dann sagen, wenn man die Hypothese verwirft, dann kann man sehr sicher sein, dass der Anstieg extrem ist.
Hoffe das habe ich so richtig verstanden. Mien Platt is Schiet. Dabei bin ich gebürtiger Franke doch in Friesland aufgewachsen Augenzwinkern

Das macht Sinn. Aber natürlich sind bei großen Stichproben genauere, zuverlässigere Werte zu erwarten.

20.04.2008, 01:32

Ari

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Zitat:

Original von Zellerli
Du meinst: Wenn man einen großen Fehler 2. Art hat, also einen gestiegenen Schwarzfahreranteil irrtümlich noch als "normal" bezeichnet, dann muss der Anstieg des Schwarzfahreranteils schon extrem sein, damit man die Hypothese verwirft und tatsächlich sagt: Der Anteil ist gestiegen.
In sofern könnte man dann sagen, wenn man die Hypothese verwirft, dann kann man sehr sicher sein, dass der Anstieg extrem ist.
Hoffe das habe ich so richtig verstanden.

Ja, genau das meinte ich smile

Gut, das beruhigt mich sehr! Mich hat es erst total verunsichert, dass ich die gegebenen Werte für den Fehler 2. Art und den Wahrscheinlichkeiten nicht weiter beachtet habe.
Aber ich denke, das passt: bei der Stichprobe mit kleiner Versuchsanzahl war der Annahmebereich prozentual größer (was für die Erklärung spricht), obwohl man sich eigentlich für den Versuch mit größerem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ entscheiden müsste (höhere Genauigkeit).

Dankeschön! Freude

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