Induktionsbeweis - fehlerhaft?!

31.10.2005, 17:47

mercany

Induktionsbeweis - fehlerhaft?!

Hallo!

Ich hab letztens mal in einem Zwischenschritt etwas beweisen müssen und im Nachhinein wurde mir dann gesagt, dass dies falsch wäre.

Ich habs mir jetzt vorhin nochmal zu Gemüte geführt, komme allerdings einfach nicht drauf wo mein Fehler liegt.

Beweise:

Der Term $\begin{eqnarray*} A_{(n)} = n^3 + 5n \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ immer durch $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ teilbar.

Also habe ich mir gesagt: $\begin{eqnarray*} n^3 + 5n = 3t \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{(n+1)} &=& (n+1)^3 + 5(n+1) \\ &=& (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 5(n+1) \\ &=& n^3 + 5n + 3n^2 + 3n +6 \\ &=& 3t + 3(n^2 + n + 2) \\ &=& 3(t + n^2 +n+ 2) \end{eqnarray*}$

So, und nun habe ich wie folgt argumentiert:

Da nach Vorraussetzung $\begin{eqnarray*} n,t \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt und die Klammer den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ hat, ist diese auch durch $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ teilbar und es gilt in jedem Falle als Ergebnis $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

31.10.2005, 17:50

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Daran gibt's nichts auszusetzen, sofern du nicht den Induktionsanfang vergisst.

31.10.2005, 18:04

mercany

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Daran gibt's nichts auszusetzen, sofern du nicht den Induktionsanfang vergisst.

Ja, der ist klar!
Hab ich halt jetzt aus Faulheit nicht aufgeschrieben.

Hmm, warum meinte mein Lehrer denn wohl, als ich ihn deshalb letztes Mal gefragt hatte, dass ich das so nicht machen könnte. verwirrt

Gruß, mercany

31.10.2005, 19:26

Lazarus

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also ich hab neulich nen induktionsbeweis zur teilbarkeit gemacht, und auch diesen k*(teiler)-"trick" gemacht, und meiner meinung nach ist an dieser methode nix zu beanstanden, was dein lehrer da will ist mir schleierhaft ...
andere möglichkeit wäre noch des mit modulo zu rechnen, aber is denk ich bisschen umständlicher, oder ?

servus

31.10.2005, 20:08

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Möglichkeiten des Nachweises gibt es viele, z.B. ist der Darstellung

$\begin{eqnarray*} n^3+5n = (n-1)n(n+1) + 6n = 6 \cdot \left( {n+1 \choose 3}+n \right) \end{eqnarray*}$

sofort anzusehen, dass der Ausdruck sogar immer durch 6 teilbar ist.

01.11.2005, 10:34

mercany

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Oki!

Aber auf soetwas muss man auch erstmal kommen, Arthur. Augenzwinkern

01.11.2005, 11:59

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Hängt außerdem von der Bereitschaft des Betrachters ab, die Ganzzahligkeit der Binomialkoeffizienten als Faktum zu akzeptieren. Augenzwinkern

Soll also heißen: Nichts gegen deinen Induktionsbeweis, der braucht solche Verrenkungen nicht.

01.11.2005, 12:02

mercany

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Na, ich bin ja auch erstmal beruhigt, dass der Beweis doch nicht falsch war!
Ich hab mir schon den Kopf zerbrochen, warum mein Lehrer meinte, der wäre so nicht korrekt.... Big Laugh

01.11.2005, 14:00

Lazarus

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ich finde die umformung von dir sehr interressant arthur, allerdings komm ich ned ganz dahinter wie du das genau gemacht hast.

könntest du mir das bitte so ausführlich erklären, dass ich troz dem durch starke erkältung nur schwer zu durchdringenden brett vorm kopf das verstehen kann ^^

ciao

01.11.2005, 14:17

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Hängt außerdem von der Bereitschaft des Betrachters ab, die Ganzzahligkeit der Binomialkoeffizienten als Faktum zu akzeptieren. Augenzwinkern

... oder sich klar zu machen, daß von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen genau eine durch 3 und mindestens eine durch 2 teilbar ist.

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