Substitution

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01.11.2005, 16:16	sejjmich	Auf diesen Beitrag antworten »
Substitution Ich hoffe mir kann jemand helfen: Berechnen Sie das Integral mit Hilfe einer geeigneten Substitution (Winkelfunktionen!): $\begin{eqnarray} int_{0}^{1}~(1/\sqrt{1-x²}) ~dx \end{eqnarray}$
01.11.2005, 16:40	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
na dann man los versuch doch erst mal die einfachen winkelfunktionen u=cos(x) wäre doch mal eine substitution wert
01.11.2005, 16:48	sejjmich	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe leider keine Ahnung von Winkelfunktionen. Ich denke, ich muss $\begin{eqnarray} \sqrt{1-x²} \end{eqnarray}$ ersetzten. Womit denn?
01.11.2005, 17:09	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
u=cos(x) probiers doch einfach mal
01.11.2005, 17:16	sejjmich	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber was hat denn cos(x) mit $\begin{eqnarray} \sqrt{1-x²} \end{eqnarray}$ zu tun? Ich ersetzte bei der Substitution doch immer etwas was sich gut ableiten lässt. Aber wie bekomme ich überhaupt eine Winkelfunktion hinein?
01.11.2005, 17:17	DGU	Auf diesen Beitrag antworten »
denk mal an den trigonometrischen Pythagoras!
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01.11.2005, 17:36	sejjmich	Auf diesen Beitrag antworten »
Das einzige das mir dazu einfällt ist: sin²x+cos²x=1 Dann wäre cos(x)= $\begin{eqnarray} \sqrt{1-sin²x} \end{eqnarray}$ . Aber was mache ich mit dem x²?
01.11.2005, 18:20	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
huch, vielleicht mein fehler ich meinte natürlich dauernd substituiere x=cos(u) und NICHT ANDERSRUM ist es dann klar?
01.11.2005, 18:41	sejjmich	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich probiere es mal: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~1/(\sqrt{1-cos²(u)~ })du \end{eqnarray}$ dann ersetzte ich die Wurzel durch sin²(u). Ich erhalte: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~1/sin²(u)~du \end{eqnarray}$ 1/sin ist doch arcsin, oder? Also brauche ich die Aufleitung von arcsin². Die müsste ja dann -1/3*arccos³ sein. Ist das falsch oder sehr falsch?
01.11.2005, 19:28	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast gut angefangen, aber dann isses ziemlich falsch geworden. und nebenbei sei bemerkt das es das wort "Aufleitung" nicht gibt. genauso gibt es das verb "aufleiten" nicht! was du meinst ist die stammfunktion. aber zum thema: du musst $\begin{eqnarray} \sqrt{1-\cos^2{u}} =\sin{u} \end{eqnarray}$ nutzen. du schreibst allerdings ...=sin^2 was falsch ist. der rest danach ist natürlich sehr falsch. beachte das bitte, dann sollte da schon was rauskommen
01.11.2005, 19:47	sejjmich	Auf diesen Beitrag antworten »
Das es keine Aufleitung ist, ist mir schon klar. Aber ich dachte wenn ich aufleiten sage, weiß erstens jeder was gemeint ist und zweitens ist es einfach kürzer als "Stammfunktion bilden". Aber zum Thema: Ups, na klar. sin² ist falsch. Also DIE STAMMFUNKTION von 1/sin u BILDEN Da ich aber leider keine Ahnung von Winkelfunktionen hab rate ich jetzt: 1. -arccos u 2. -1/2 Ist davon eines richtig?
01.11.2005, 21:25	sejjmich	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab gerade eine Lösung in der Formelsammlung gefunden: arcsin x/a aber da komme ich mit meinen tollen Stammfunktionen nicht drauf. Kann mir jemand vielleicht noch einen Tip geben?
01.11.2005, 21:38	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
such eine bessere formelsammlung! $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{dx}{sinx} ~ =ln\mid tan\frac{x}{2} \mid \end{eqnarray}$ werner
01.11.2005, 21:49	sejjmich	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie komme ich denn ohne Formelsammlung auf die Stammfunktion?
01.11.2005, 22:01	sejjmich	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry. arcsin x/a soll die Lösung von $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~1/( \sqrt{1-x²} )~dx \end{eqnarray}$ sein. Nicht von $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~1/sin(u)~du \end{eqnarray}$ . Hab mich sehr ungeschickt ausgedrückt.
01.11.2005, 22:01	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe sie dir ja gerade hingeschrieben aber wenn du es selbst versuchen willst: noch eine substitution(! mit x statt u oder so): $\begin{eqnarray} t=tan\frac{x}{2} \; und \;damit\; dx=\frac{2dt}{1+t^{2}} \; und\; sinx =\frac{2t}{1+t^{2}} \end{eqnarray}$ alles einsetzen liefert $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~ \frac{dt}{t} \end{eqnarray}$ und nun alles zürück werner
01.11.2005, 22:11	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Ich fasse mal zusammen. Wir haben: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ~dx \end{eqnarray}$ Substitution x = sin(u) (@LOED: die gefällt mir besser) Dann ist: dx/du = cos(u) Das liefert: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{cos(u)} ~cos(u)du = \int_{}^{}~1~du \end{eqnarray}$ Und das sieht irgendwie anders aus, als was bislang gerechnet wurde.
01.11.2005, 22:12	sejjmich	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut, überzeugt. Die Stammfunktion nehme ich mal so hin. Aber wie substituiere ich dann wieder zurück? Ich muss ja mein x vom Anfang wieder rein bekommen.
01.11.2005, 22:13	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Halt! Wir haben noch keine Stammfunktion. Wie lautet denn eine?
01.11.2005, 22:15	sejjmich	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung, das war für den Beitrag davor.
01.11.2005, 22:17	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so. Ich weiß jetzt nicht, was die anderen gerechnet haben, aber mein Beitrag ist doch klar oder? Und jetzt brauchen wir eine Stammfunktion für das Integral: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~1~du \end{eqnarray}$
01.11.2005, 22:18	sejjmich	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{}^{}~1~du \end{eqnarray}$ ist bei mir einfach nur u+c
01.11.2005, 22:23	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Und jetzt erinnern wir uns an die Substitution x = sin(u). Also ist u = ...
01.11.2005, 22:24	sejjmich	Auf diesen Beitrag antworten »
arcsin x??????
01.11.2005, 22:27	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Hurra!!!
01.11.2005, 22:29	sejjmich	Auf diesen Beitrag antworten »
Juchuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Erstaunlich einfach wenn man bedenkt in welche Weiten ich abgetrieben bin. DANKE, DANKE, DANKE.

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