Injektiv und Surjektiv |
| 01.11.2005, 18:00 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Injektiv und Surjektiv Ich soll zeigen, dass die Funktion f: , f(x) := + px - q nicht injektiv und nicht surjektiv ist. Gegeben ist weiterhin, dass p und q vorgegebene positive Zahlen sind. Dazu soll ich diese Situation auch noch zeichnen. Also, ich hab mir natürlich schon so meine Gedanken gemacht, aber wirklich voran komme ich nicht. Die Funktion die gegeben ist, ist ja zweiten Grades, also habe ich wenn ich nicht wieder was falsch verstanden habe 2Nullstellen. Dafür habe ich mir ein Koordinatensystem gezeichnet und einfach zwei Punkte auf der x-Achse gewählt und eine Kurve gezogen. (?) Nun soll ich zeigen ob es injektiv ist, also ob gilt f(x) = f(y) x = y. Folgendes habe ich nun notiert: + px - q = 0 x1,x2 (nach p-q Formel, oder wie soll man das nennen?) = - (p halbe ist natürlich geklammert) Nun wurde mir gesagt könnte man f(x1) = 0 = f(x2) folgern, aber x ist ungleich y und damit nicht injektiv. Bitte woran sieht man das und wie bringe ich das in eine saubere Form? Meinen Ansatz für surjektiv lass ich erstmal weg, da ich erstmal die Injektivität verstehen will. Vielleicht hat ja auch jemand ne bessere Idee. Bin dankbar für jede Hilfe. 
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| 01.11.2005, 18:31 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
gilt nur, wenn 2 reelle nullstellen vorliegen, was nicht sein MUSS weißt du was injektivität bedeutet? am einfachsten argumentierst du mit zwischenwertsatz und dem wissen, wie eine parabel allgemein verläuft. sei der y-wert des scheitels y0, dann muss z.b. y0+1 von ZWEI x-werten getroffen werden |
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| 01.11.2005, 18:41 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also wenn ich so gaanz ehrlich bin, weiß ich nicht was injektiv bedeutet. Die Definition die wir gemacht haben: Es wird jedem Element der Urbildmenge genau ein Element der Bildmenge zugeordnet. Es werden also keine zwei verschiedenen Elemente aus dem Definitionsbereich auf das gleiche Element des Wertebereichs abgebildet werden. Damit gilt f(x) = f(y) woraus wiederrum folgt, dass x=y ist. Was mir vorallem fehlt ist eine graphische Veranschaulichung, dazu haben wir nichts gemacht und im Netz bin ich nicht fündig geworden. Leider kenne ich auch den Zwischenwersatz nicht. Mir wurde gesagt bzw. habe ich es so verstanden, dass auf jeden Fall in diesem Bsp. zwei reelle Nullstellen vorliegen, da p,q positive reelle Zahlen sind und die pq-Formel damit nicht "negativ" werden kann.
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| 01.11.2005, 20:25 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Soweit schonmal richtig! Wenn dir jetzt auch noch klar ist, was das für die Funktion bedeutet, dann ist das doch schonmal ein guter Anfang. 
Was ist dir denn das nicht so klar?
Na, dann wähle mal für p=2 und für q=3 und schon hast du mit -1 ne negative Diskriminante und bewegst dich somit im Bereich der komplexen Zahlen! |
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| 01.11.2005, 20:49 | bil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hi, du hast zwar die definition schon da stehen aber glaube das es dir noch nicht ganz klar ist... lies dir mal http://de.wikipedia.org/wiki/Injektivit%C3%A4t durch. vielleicht hilft das schonmal. ich zeig dir mal wieso f(x)=x² nicht injektiv ist, viellleicht wirds dir dann deutlicher. def. (injektiv): f(x)=f(y)=>x=y in unserem fall f(2)=4=f(-2)=> -2 ungleich 2 wiederspruch, also nicht injektiv. das heisst sobald zwei oder mehrere x-werte auf einen pkt abbgebildet werden ist es nicht mehr injektiv. |
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| 01.11.2005, 20:56 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
als allgemeiner nachtrag dazu vielleicht noch: im gegensatz zur surjektivität, hängt es bei der injektivität nur vom funktionsgraphen ab, ob eine funktion eben injektiv ist. mfg, mercany |
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| 02.11.2005, 06:46 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo bil!!! Sicher habe ich das noch nicht wirklich verstanden. Irgendwie ist mir das alles noch sehr suspekt. Ich streng mich aber an *g*. Zu deinem Beispiel: Ich verstehe was du gemacht hast. Aber wieso ist dein f(y) = -2. Erschlag mich, aber ich weiß es nicht. Mir wurde das so erklärt: wenn ich für mein f(x) etwas konkretes einsetze dann muss die Funktion gleich sein, da dies mein f(y) ist. Davon mal abgesehen darf ich nur zusätzliches ein Beispiel nennen, muss aber gesamt allgemein beweisen. Ganz klar kann ich das erst, wenn ich injektiv verstanden habe. |
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| 02.11.2005, 15:46 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
gilt natürlich nur für a > 0 |
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| 02.11.2005, 18:30 | bil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also f(y)=4 ,nur mal nebenbei 
. also nochmal...die definition von injektiv besagt wenn f(x)=f(y) ist MUSS x=y sein. in meinem bsp war x=2, und y=-2, also verschieden. aber f(x)=f(2)=f(y)=f(-2)=4. also f(x)=f(y) mit x=2 y=-2. man sieht also das zwei verschieden werte -2 und 2 auf die 4 abbgebildet werden. da f(x)=f(y) MUSS jetzt nach def x=y sein. d.h. wenn f(2)=f(-2) => 2=-2 , was zu einem wiederspruch führt. denn -2 und 2 sind ja nicht gleich. also ist die funktion nicht injektiv. wenns immer noch nicht klar ist, frag nochmal
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| 02.11.2005, 19:52 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Langsam aber sicher klingelts. O.k. ich versuch das jetzt nochmal für mich selbst nachzuvollziehen. Aber ich kann das ja bei meiner Aufgabe nicht einfach anhand eines Beispiels beweisen, oder? Im Prinzip liegt da ja der selbe Fall vor wie in deinem Beispiel. Dann muss ich dafür ja eine Zeichnung anfertigen. Macht man die Allgemein, also einfach eine Parabel mit 2Nullstellen? Meld mich dann nochmal... Vielleicht kann man dann ja auch bald die Surjektivität in Angriff nehmen *g*. Dickes Danke |
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| 02.11.2005, 21:05 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jede Parallele zur x-Achse darf den Funktionsgraph nur einmal schneiden. x^2+px-q nicht injektiv ? x^2+px-q = x^2+px+p^2/4 -q -p^2/4 = (x+p/2)^2 - q -p^2/4 offensichtlich ist f(-p/2+k) = f(-p/2-k) für beliebiges k und f somit nicht injektiv. |
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| 02.11.2005, 21:29 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So, hab mir das nun nochmal angeschaut und ich hoffe, dass ich das nun verstanden habe. Meine gegebene Funktion ist zweiten Grades, damit habe ich 2reelle Nullstellen, was wiederrum bedeutet, dass der Graph die x-Achse 2x schneidet. somit habe ich f(x) = 0 = f(y) Die gegebene Funktion setze ich nun = 0. Daraus kann man die bereits von mir angegeben pq-Formel bilden. Dort erhalte ich aber aufgrund des minus und plus Zeichens vor der Wurzel immer zwei verschiedene Werte. Wie in Bils Bsp.: +2 und - 2. Hier eben plus bzw. minus Wurzel aus... Da f(x)=f(y) müsste ich auch x=y erhalten, dies ist aber nicht der Fall und somit ein Widerspruch zur Definition von Injektiv. Dies ist aber nur gegeben, da in der Aufgabenstellung vermerkt ist, dass p und q positive reelle Zahlen sind. Wenn ihr euch fragt, warum ich so auf der pq Formel rumkaue, das war ein Tipp... Kann man das so machen? Ich kann natürlich auch einfach ein konkretes Gegenbeispiel wählen, aber wenn möglich sollen wir dies eben nicht tun, sondern verallgemeinern. Entsprechend habe ich als Zeichnung nun auch nicht so viel zustande bekommen, außer zwei Nullstellen und irgendwie ne Parabel "drüber". Hoffe, ich hab jetzt nicht wieder alles supie falsch verstanden 
PS: Poff was meinst du, dass jede Parallele zur x-Achse den Funktionsgraphen nur einmal schneiden darf? |
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| 03.11.2005, 01:15 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na, wenn die Funktion injektiv sein soll muss es so sein. Da f(x)=f(y) müsste ich auch x=y erhalten, dies ist aber nicht der Fall und somit ein Widerspruch zur Definition von Injektiv. Dies ist aber nur gegeben, da in der Aufgabenstellung vermerkt ist, dass p und q positive reelle Zahlen sind. nein das stimmt nicht, p und q werden zum injektiv nicht gebraucht. |
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| 03.11.2005, 06:33 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab dich leider immer noch nicht verstanden. Ich kann mir deine "Zeichnung" nicht vorstellen. Zu dem pq: Ich meine, dass ich zwei "reelle Nullstellen" bekomme, da diese als positiv reelle vorgegeben sind. Wäre dies nicht so würden wir in den Komplexen Bereich reinrutschen und müssten (da ich ja mt der pq-Formel beweise) einen 2ten Fall betrachten. Wie siehts denn mit dem Rest aus? Auch alles nicht so wirklich gut? Für mich hört sich das jetzt eigentlich ganz schlüssig an... |
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| 03.11.2005, 17:21 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Den Bereich der komplexen Zahlen musst du hier garnicht beachten, weil du dich in bewegst! Gruß, mercany |
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| 03.11.2005, 21:01 | Krümel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke für die Bestätigung. Hatte eine Nachricht von jemand anderem so interpretiert. Kann vielleicht nochmal jemand meinen Ansatz bestätigen? Wollt jetzt zur surjektivität übergehen, weiß aber schon wieder nicht richtig wie, wenn man allgemein beweisen soll. Brauche weiterhin Hilfe... |
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