Orbits und Symmetrische Gruppen

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Luci Auf diesen Beitrag antworten »
Orbits und Symmetrische Gruppen
Hi, hab hier zwei Aufgaben, bei denen wir einfach keinen Ansatz finden.

Aufgabe 1

Sei
eine Operation der Menge G auf der Menge M. Zeigen Sie, es gibt, eindeutig bestimmte Teilmengen für welche die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1)
2) Die sind nicht leer und paarweise disjunkt.
3) für jedes ist die Abbildung eine wohldefinierte transitive Operation von G auf M


Aufgabe 2

Zeigen Sie:
1) Die Symmetrische Gruppe operiert durch Konjugation auf sich selbst, d.h.

ist eine wohldefinierte Linksoperation von auf sich selbst.

2) Die Zerlegung der Permutation in Produkte elementfremder Zyklen entspricht gerade der Zerlegung von in Orbits bezüglich der Operation von 1)

Freu mich über jede Hilfe!
Luci
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zu 1) Betrachte die Bahnen/Orbits der Aktion von G auf M.

zu 2) Teil 1) ist einfach, du musst nur die entsprechenden Eigenschaften nachweisen. Wenn du das gezeigt hast, können wir über 2) reden.
 
 
July Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zu 1) Naja, wir würden ja gern die Orbits betrachten, wenn wir wüßten, wie das geht. Das Thema Orbits oder Bahnen hatten wir in der Vorlesung noch nicht und wir finden auch keine Seite, die das ganze halbwegs anschaulich beschreibt - das macht die Sache ja eben so doof. verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann helfe ich euch mal ein wenig.

Zu bezeichne die zugehörige Bahn (Orbit). Offensichtlich ist keine Bahn leer (warum?).

Behauptung 1:
Behauptung 2: Je zwei Bahnen sind entweder identisch oder disjunkt.
Behauptung 3: Man erhält in natürlicher Weise eine transitive Aktion . (Es genügt zu zeigen, dass es nur eine Bahn gibt.)

Versucht das mal zu begründen. Das war dann im Wesentlichen Aufgabe 1.
Luci Auf diesen Beitrag antworten »



Sei

1) Behauptung:
da
Sei
Da die Abbildung folgende Gestalt hat: folgt:
Da und ist transitiv.
wobei


2) da ist auch


3)
Sei wohldefiniert


Da die Abbildung folgende Gestalt hat: folgt:
Da und ist transitiv.


Edit: der Übersichthalber Mathezeichen angepasst
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid das sagen zu müssen, aber ich würde dir auf deine Ausführungen kaum Punkte geben.

Zitat:
Original von Luci
da
Sei


Nein. Erstens meinst du eigentlich und nicht und zweitens: Wo steht denn, dass M eine endliche Menge ist? Übrigens hast du die Indexmenge I noch nicht definiert.

Zitat:
Original von Luci
Da die Abbildung folgende Gestalt hat: folgt:


Was willst du damit bezwecken? Das ist einfach nur die Voraussetzung, keine Folgerung.

Zitat:
Original von Luci
Da und ist transitiv.
wobei


Laut deiner Aussage wäre jede Aktion einer Gruppe auf einer Menge transitiv. Das ist falsch.

Zitat:
Original von Luci
2) da ist auch


Was soll denn sein? Falls du meinst: Deine Begründung genügt mir nicht (auch wenn die Aussage trivial ist).

Zitat:
Original von Luci
3)
Sei wohldefiniert


Was soll denn für eine komische Notation sein? Ich verstehe nicht was du meinst.

Zitat:
Original von Luci
Da die Abbildung folgende Gestalt hat: folgt:
Da und ist transitiv.


Nein, ist keine Menge von Mengen, sondern eine Menge von Elementen! Außerdem ist deine Begründung nicht sonderlich gut (bzw. eigentlich steht nirgends eine Begründung).
Luci Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen

Zitat:
Original von Luci
da
Sei


Nein. Erstens meinst du eigentlich und nicht und zweitens: Wo steht denn, dass M eine endliche Menge ist? Übrigens hast du die Indexmenge I noch nicht definiert.


Ich meinte natürlich:

Und ändert denn die Tatsache irgendetwas, dass M nicht unbedingt endlich ist? Dann definier ich mir halt:

Zitat:
Original von therisen
Zitat:
Original von Luci
Da und ist transitiv.
wobei


Laut deiner Aussage wäre jede Aktion einer Gruppe auf einer Menge transitiv. Das ist falsch.

Da und transitiv ??

Zitat:
Original von therisen
Was soll denn sein? Falls du meinst: Deine Begründung genügt mir nicht (auch wenn die Aussage trivial ist).

Ja, meinte ich, aber ich weiß nich, wie ich es sonst beweisen soll.

Zitat:
Original von therisen
Was soll denn für eine komische Notation sein? Ich verstehe nicht was du meinst.

wohldefiniertheit zeigt man bei mit: das hab ich dann versucht auf diese Abbildung zu übertragen.

Desweiteren ist G nur als Menge definiert, nicht als Gruppe. (Ich war mir nicht sicher, ob das klar ist.)
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luci
Ich meinte natürlich:

Und ändert denn die Tatsache irgendetwas, dass M nicht unbedingt endlich ist? Dann definier ich mir halt:


Auch das klappt nicht. Du schreibst . Die linke Seite hängt aber nicht von i ab! Du kannst nicht mal schreiben: Wer sagt denn, dass M abzählbar ist? Lass die mal weg. (EDIT: Ok, man kann natürlich I als überabzählbar angeben, aber trotzdem, lass die Notation erst mal weg.) Ihre Existenz ergibt sich automatisch, wenn du die 3 Punkte gezeigt hast.

Zitat:
Original von Luci
Da und transitiv ??


Ich verstehe absolut nicht, worauf du hinaus willst. Die Aktion ist i.a. nicht transitiv! Versuche also erst gar nicht, das zu begründen!

Zitat:
Original von Luci
Zitat:
Original von therisen
Was soll denn sein? Falls du meinst: Deine Begründung genügt mir nicht (auch wenn die Aussage trivial ist).

Ja, meinte ich, aber ich weiß nich, wie ich es sonst beweisen soll.


Keine Bahn ist leer, denn . So einfach ist das.


Zitat:
Original von Luci
Zitat:
Original von therisen
Was soll denn für eine komische Notation sein? Ich verstehe nicht was du meinst.

wohldefiniertheit zeigt man bei mit: das hab ich dann versucht auf diese Abbildung zu übertragen.


Lass die Indizes hier weg und betrachte etwa Gm=Gn.

Zitat:
Original von Luci
Desweiteren ist G nur als Menge definiert, nicht als Gruppe. (Ich war mir nicht sicher, ob das klar ist.)


Das habe ich bis jetzt noch gar nicht gelesen. Wie ist denn die Aktion einer Menge auf einer Menge formal definiert? Fordert man nur Assoziativität? Ich bin mir im Moment gar nicht sicher, ob Behauptung 3 dann überhaupt stimmt.

Übrigens hast du Behauptung 2 nirgends bewiesen.
Luci Auf diesen Beitrag antworten »

Es steht eben nicht in der Aufgabenstellung, dass G eine Gruppe ist.

Da stand: "...eine Operation der Menge G auf der Menge M..."

und dass ich die 2 nicht hab, war mir schon klar Augenzwinkern die konnte ich halt nicht.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luci
Es steht eben nicht in der Aufgabenstellung, dass G eine Gruppe ist.


Ja, aber ich behaupte mal, das ist ein Druckfehler. Oder wie habt ihr "Operation einer Menge auf einer Menge" definiert (schau mal in dein Skript)?
Luci Auf diesen Beitrag antworten »

also ein neuer Versuch:

Sei mit


1)

da folgt:



2)

da G Gruppe: neutrales Element



3)

sei Mit also wohldefinert

z.z.: es existierte in mit
sei dann gibt es ein wegen Abgeschlossenheit von G. also auch also transitiv
Luci Auf diesen Beitrag antworten »

wie ich das bei der 2 mit disjunkt hinbekommen soll, hab ich keine ahnung, denn dafür müsste ich doch zeigen, dass disjunkt, also besitzen kein gleiches Element. wenn aber zb und, dann gibt es bei der Multiplikation immer irgendein element doppelt. da in G ja wieder alle Elemente aus M liegen.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luci
1)

da folgt:


Das ist keine Begründung! Warum gilt ? Und warum gilt ?

Zitat:
Original von Luci
3)

sei Mit also wohldefinert


Die Wohldefiniertheit zeigst du damit nicht wirklich. Du solltest eher zeigen, dass das Bild tatsächlich wieder in liegt.


Zitat:
Original von Luci
z.z.: es existierte in mit
sei dann gibt es ein wegen Abgeschlossenheit von G. also auch also transitiv


Nein. Das hat außerdem nichts mit der Abgeschlossenheit von G zu tun, sondern mit der Invertierbarkeit! Zeige, dass es eine Bahn gibt, die gleich ist. Das genügt.


Du kannst übrigens nicht einfach ein M_i willkürlich festlegen, daher ist dein "Gegenbeispiel" keines.
Luci Auf diesen Beitrag antworten »

wohldefiniertheit zeigt man aber doch mit:

mit:

das hatte ich definitiv in der uni. also müsste es doch auch hier gelten.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber trivialerweise erfüllt, da G auf M operiert (wohldefiniert!) und M_i eine Teilmenge von M ist. Was nicht klar ist, dass die Bildmenge korrekt angegeben ist.
Luci Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, dass ich das trotzdem mit der wohldefiniertheit so machen kann, da wir in unserm Skript nirgends stehen haben, dass wenn G auf M operiert, es sich um eine wohldefinierte Abbildung handelt.

Könntest du mir vielleicht einen tTpp zum "disjunkt" geben? Da komm ich so auf gar keine rechte Idee.


Ich wäre auch über einen Ansatz zu der 2 dankbar.
Luci
July Auf diesen Beitrag antworten »

Hi ihr zwei!

Ich hab mir zur Aufgabe1 Teilaufgabe 2 folgendes überlegt:

Operiert die Gruppe (G,*) auf M, dann bilden die Bahnen eine Zerlegung von M, das heißt: Je zwei Bahnen sind disjunkt oder gleich, und jedes Element von M liegt in einer Bahn.
Denn man kann ja die folgende Äquivalenzrelation "~" definieren:

Sind x,y aus M, dann ist x ~ y, falls ein s in G existiert, so dass s * x = y ist.

Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind nach Definition genau die Bahnen von M.

Kann man das so schreiben um zu zeigen, dass die Mi disjunkt sind?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luci
da wir in unserm Skript nirgends stehen haben, dass wenn G auf M operiert, es sich um eine wohldefinierte Abbildung handelt.


Da irrst du dich aber gewaltig. Es steht sicher ein Satz der Art "Eine (Links-)Operation einer Gruppe G auf einer Menge M ist eine Abbildung/Verknüpfung , derart dass ...". Spricht man von einer Abbildung/Verknüpfung, so impliziert das stets die Wohldefiniertheit jener! Ich könnte dir auch ein Beispiel aus der Analysis nennen, wo du mit deinem Nachweis der Wohldefiniertheit 0 Punkte bekommen würdest (und man sich auf das Bild konzentrieren muss).


Zitat:
Original von July
Operiert die Gruppe (G,*) auf M, dann bilden die Bahnen eine Zerlegung von M, das heißt: Je zwei Bahnen sind disjunkt oder gleich, und jedes Element von M liegt in einer Bahn.
Denn man kann ja die folgende Äquivalenzrelation "~" definieren:

Sind x,y aus M, dann ist x ~ y, falls ein s in G existiert, so dass s * x = y ist.

Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind nach Definition genau die Bahnen von M.

Kann man das so schreiben um zu zeigen, dass die Mi disjunkt sind?


Im Prinzip ja, aber warum so umständlich? Es gelte . Zu zeigen ist, dass . Angenommen, es gäbe ein , etwa . Daraus folgt leicht , ein Widerspruch.
July Auf diesen Beitrag antworten »

Na schön, dann vielleicht noch ein Versuch zur Aufgabe 2 Teilaufgabe 1:

Sei eine symetrische Gruppe und eine Operation von auf sich selbst. Sei das neutrale Element dieser Gruppe.
Dann gilt:
(i)

(ii)

(iii)

(iv)

Aus (i) + (ii) + (iii) folgt die Operation ist wohldefiniert.

Aus (ii) + (iv) folgt die Operation ist eine Linksoperation.

(Hoffentlich ist nicht alles falsch smile )
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von July
(i)

(ii)


Schreibfehler. Außerdem solltest du Punkt (1) und (3) weglassen, ihre Gültigkeit ist irrelevant. Die Wohldefiniertheit ist hier klar, denn der Ausdruck liegt wieder in . Der Sinn deines erschließt sich mir nicht.
July Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist einfach die gegebene Abbildung für die ich die einzelnen Anforderungen (ii+iv) für eine Linksoperation zeigen muss.

Und die Wohldefiniertheit ist dann bereits mit gezeigt?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von July
Und die Wohldefiniertheit ist dann bereits mit gezeigt?


Falls du mit f' das Inverse zu f meinst, ja. Übrigens hast du links und rechts verwechselt. Wie war das, Frauen haben eine Links-Rechts-Schwäche? Augenzwinkern
July Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denk, auch Männer machen gelegentlich den Fehler und verwechseln rechts und links.
Aber ich steh im Mom irgendwie auf dem Schlauch... Wobei hab ich das verwechselt? verwirrt
Und was ist mit den anderen Rechnungen zur Linksoperation - kann man das so schreiben?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Also, (i) bis (iii) lass mal weg. Ebenso das letzte Gleichheitszeichen bei (iv). Dann musst du noch zeigen, dass

für alle (das meinte ich mit Links- und Rechtsoperation verwechselt)

Mit meine ich übrigens die Identität von .
July Auf diesen Beitrag antworten »

Also du machst es einem echt nich einfach Augenzwinkern

Wie sieht denn nun schon wieder die von aus? Das müsste ja dann ein Gebilde sein, mit dem sämtliche Permutationen gleich bleiben... Ach man, ich mag diese Gruppe nich traurig
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

In deiner Notation: . Ich finde aber schöner, denn besteht ja gerade aus bijektiven Selbstabbildungen.
July Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist das einfach das "Einselement", mit dem ich in meiner ursprünglichen (i) blöderweise falschrum operiert habe. Ich wollte da eigentlich schreiben:



so richtig? Gut ich schreib dann in meinen Ausführungen id Augenzwinkern
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe keine Einwände Augenzwinkern
July Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir bitte schnell noch erklären, was eine doppelte Inklusion ist. Dann krieg ich vielleicht die 2.2 auch noch irgendwie hin. Wäre super lieb Engel
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Bei "doppelter Inklusion" denke ich an Folgendes: soll gezeigt werden. Das ist äquivalent zu und .
July Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke!

Ich hoffe, dass wenigstens die 2.1 dann ein paar Punkte bringt.
VIELEN DANK FÜR DEINE HILFE! Mit Zunge
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