verschiedenste umformungen & auflösungen

18.04.2008, 18:54

tarzibou

verschiedenste umformungen & auflösungen

hallo erstmal,

ich muss gestehen, dass mir gleich mehrere gleichungen probleme bereiten und ich für jeden tipp dankbar bin, so dass ich auch die letzten 6 von 26 aufgaben irgendwie lösen könnte.

1.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{x}{y} * \sqrt{\frac{x}{y} * \sqrt[3]{\frac{y^{3}}{x} }}} \end{eqnarray*}$

heraus hätte ich: $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[4]{x^{3} } }{\sqrt[12]{xy^{2}}} \end{eqnarray*}$

ist aber seltsamerweise falsch (beim einsetzen). $\begin{eqnarray*} \sqrt[a]{x^{b}} \end{eqnarray*}$ ist aber doch umgeformt dasselbe wie $\begin{eqnarray*} x^{\frac{b}{a}} \end{eqnarray*}$ ?

2.

$\begin{eqnarray*} x = 2*10^{2 lg 2} \end{eqnarray*}$

mit den logarithmusfunktionen komme ich leider hier auch gar nicht zurande. ich weiß, dass 8 rauskommt und lg der logarithmus zur basis 10 ist. wie aber forme ich das denn um, so dass ich das im kopf rechnen könnte? nach welchen regeln?

3.

$\begin{eqnarray*} a + x = \frac{1}{x} + \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

heraus habe ich: $\begin{eqnarray*} ax^{2}+a^{2}x+x+a = 0 \end{eqnarray*}$

aufgelöst: $\begin{eqnarray*} x1,2 = \frac{-a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{2}-\frac{x}{a}-1 } \end{eqnarray*}$

hier ist irgendwo der wurm drin. q kann doch nicht $\begin{eqnarray*} \frac{x}{a}+1 \end{eqnarray*}$ sein?

4.

$\begin{eqnarray*} log_5(x)-log_5(2x-1)=log_5(x+4) \end{eqnarray*}$

durch umformung erhalte ich: $\begin{eqnarray*} lg (x) - lg (2x-1) - lg (x+4)=0 \end{eqnarray*}$

ich hoffe sehr, dass das wenigstens stimmt. wie aber kann ich jetzt das lg auflösen?

5.

$\begin{eqnarray*} 4 sin^{2} (x)+ 3 cos (x)= 4,5 \end{eqnarray*}$

durch umformen erhalte ich zunächst: $\begin{eqnarray*} cos^{2} (x)- 0,75 cos (x)+0,125= 0 \end{eqnarray*}$

ich kann schon mit der formulierung sin² & cos² nix anfangen. da bringt doch bspw. die arccos - funktion nichts, um zur auflösung zu gelangen, oder?

6. und die letzte - endlich Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} cot(x)=2sin(x) \end{eqnarray*}$

da stecke ich hier fest: $\begin{eqnarray*} 4 sin^{4} (x)-sin^{2} (x)+1=0 \end{eqnarray*}$

wie gesagt, sind alle hinweise gerne willkommen, da ich absolut nicht weiterweiß, wie ich diese gleichungssysteme oder gleichungen auflösen kann. danke schonmal im voraus Gott

18.04.2008, 19:36

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1. Die Regel ist richtig, also nochmal rechnen, dabei wirklich alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zusammenfassen (nicht wie oben, wo in deinem Ergebnis das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ noch zweimal auftauchte).

2. Potenzgesetze! $\begin{eqnarray*} 10^{\lg(2)\cdot 2} = \left( 10^{\lg(2)} \right)^2 \end{eqnarray*}$

3. Falsche Vorzeichen, es muss $\begin{eqnarray*} ax^{2}+a^{2}x-x-a = ax^{2}+(a^{2}-1)x-a = 0 \end{eqnarray*}$ heißen. Jetzt erst Lösungesformel!

4. $\begin{eqnarray*} \log_5(x) = \log_5(x+4) + \log_5(2x-1) \end{eqnarray*}$ und rechts $\begin{eqnarray*} \log_5(x+4) + \log_5(2x-1) = \log_5[(x+4)\cdot (2x-1)] \end{eqnarray*}$ .

5. Lös doch erstmal die quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ , das mit dem $\begin{eqnarray*} \arccos \end{eqnarray*}$ kommt danach.

6. Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ liefert $\begin{eqnarray*} \cos(x)=2 \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ , und dann hilft wieder $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)=1-\cos^2(x) \end{eqnarray*}$ , ähnlich wie in 5.

18.04.2008, 19:37

system-agent

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Zu 1)

Da hast du dich wohl verrechnet. Bedenke $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{y}=y \end{eqnarray*}$ . Dein Unschrieb von Wurzel als Exponent ist OK.

Zu 2)
Logarithmiere beide Seiten der Gleichung zuerst.
Benutze dann
$\begin{eqnarray*} \log(xy)=\log(x)+\log(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \log(a^b)=b\log(a) \end{eqnarray*}$

Zu 3)
Ich würde sagen du hast einen Vorzeichenfehler. Nach meiner Rechnung ist
$\begin{eqnarray*} ax^2+a^2x-a-x=0 \end{eqnarray*}$

Zu 4)
Lass erstmal den " $\begin{eqnarray*} \log_5 \end{eqnarray*}$ " stehen. Nutze
$\begin{eqnarray*} \log(a)-\log(b)=\frac{\log a}{\log b} \end{eqnarray*}$ und den Hinweis aus (2).

Zu 5)
$\begin{eqnarray*} \cot x=\frac{\cos x}{\sin x} \end{eqnarray*}$

19.04.2008, 08:41

tarzibou

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RE: verschiedenste umformungen & auflösungen
danke erstmal ihr beiden Augenzwinkern

ich hab jetzt folgendes raus:

1.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (\frac{x^{\frac{1}{2} }}{y^{\frac{1}{2} }} )*(\frac{x^{\frac{1}{4} }}{y^{\frac{1}{4} }} )*(\frac{y^{\frac{1}{4} }}{x^{\frac{1}{12} }} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{x^{\frac{1}{4} } y^{\frac{1}{4} } } \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[4]{xy} } \end{eqnarray*}$

2. system-agent, deine vorgehensweise verstehe ich leider überhaupt nicht verwirrt

arthur konnte ich nun folgen, da $\begin{eqnarray*} 10^{lgx} = x \end{eqnarray*}$ ist.

3. da habe ich jetzt raus:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1,_2 = \frac{-a}{2a^{2}-2} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{4a^{4}-4}+1} \end{eqnarray*}$

4. auch hier wieder der logarithmus... ich komme damit einfach nicht zurecht. wenn ich zwei logs zu einem bruch zusammenfasse, bringt mir das doch gar nix?

mir scheint komplett das grundverständnis zu fehlen. habt ihr vielleicht einen lernhinweis (literatur, web, übungen?), so dass ich den mal begreiffe?

ich hänge jetzt nämlich einfach hier fest und weiß nicht, wie ich das log wegbekomme, also nach x auflösen kann:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow log_5(x)=log_5(2x^{2}+7x-4) \end{eqnarray*}$

muss ich nun einen bruch draus machen und dann einfach das log kürzen oder kann ich direkt eine seite ganz wegschmeissen, so dass log_5(x) = 0 und damit x=1 ist?

5. auch hier brauche ich wahrscheinlich literatur. stimmt denn das:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow cos^{-1} x_1,_2 = \frac{3}{8} \pm \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

6. hier habe ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow cos^{-1} x_1,_2 = \frac{-1}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}} \end{eqnarray*}$

stimmt das alles erstmal? rest wäre ja nur taschenrechnerarbeit?

20.04.2008, 14:43

TheWitch

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Zu 1.:
Die erste Zeile stimmt noch, die zweite nicht mehr. Da lässt sich als erstes mal $\begin{eqnarray*} y^{ \frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ wegkürzen; dann wird sofort klar, dass der Rest nicht mehr stimmen kann.

Zu 3.:
Das ist komplett falsch. Du hast p falsch identifiziert und/oder falsch eingesetzt. Nach dem Dividieren durch a ergibt sich p zu $\begin{eqnarray*} \frac{a^2 - 1}{a} \end{eqnarray*}$ .

Zu 4.:
Wenn du auf beiden Seiten je einen Logarithmus mit der gleichen Basis stehen hast, kann du den Logarithmus komplett weglassen, also:
x = x² + 7x - 4
Am Schluss bei dieser Aufgabe unbedingt schauen, ob die erhaltenen Lösungen auch zur Definitionsmenge der Ausgangslogarithmen passen!

Zu 5.:
Das ist bis auf die Schreibweise richtig. Einstweilen heißt das aber noch cos(x) = ... . Berechne nun die beiden Werte zu cos(x1) = ... und cos(x2) = ... . Danach kannst du den cos auflösen.

Zu 6.:
Neben der Schreibweise (wie in 5.) stimmt irgendwas mit deiner Umformung nicht - oder du hast falsch in die p/q-Formel eingesetzt. Hast du beim Ersetzen von sin²(x) durch (1 - cos²)x daran gedacht, Klammern zu setzen?

22.04.2008, 11:14

tarzibou

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danke thewitch,

1. hab nun $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[3]{x^{2} }}{\sqrt{y}} \end{eqnarray*}$

3. wäre also letztlich $\begin{eqnarray*} x_1,_2 = - \frac{a²-1}{2a} \mp \sqrt{(\frac{a²-1}{2a})^{2} +1 } \end{eqnarray*}$

4. also $\begin{eqnarray*} x_1 = -3,561 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = 0,5615 \end{eqnarray*}$

da es aber keinen lösung eines negativen logarithmus gibt, fällt x1 also weg und x2 passt grade so bei $\begin{eqnarray*} log_5 (2x-1) \end{eqnarray*}$ .

5. ahso, alles klar. erstmal noch cos lassen Augenzwinkern

da hätte ich

$\begin{eqnarray*} cos (x_1) = 0,5 \Rightarrow x_1 = 60° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos (x_2) = 0,25 \Rightarrow x_2 = 75,5° \end{eqnarray*}$

6. siehste, ich hab die 2 einfach weggelassen Augenzwinkern

hab nun

$\begin{eqnarray*} cos (x_1) = -1,28 \Rightarrow x_1 = n.l. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos (x_2) = 0,78 \Rightarrow x_2 = 38,67° \end{eqnarray*}$

müsste nun stimmen, danke nochmal.

22.04.2008, 13:44

TheWitch

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1.
Ist so weit richtig, allerdings kann man das noch unter eine Wurzel schreiben. Ob das nötig ist, hängt davon ab, wie der lehrer drauf ist.

2.
Ist auch so weit richtig, das lässt sich allerdings durch Umformen unter der Wurzel noch komplett wurzelfrei schreiben und zusammenfassen. (Aufpassen dabei auf das Minuszeichen vor dem Bruch!)

4.
Das ist falsch. Nach weglassen der Logarithmen ergibt sich x = 2x² + 7x - 4. Diese quadratische Gleichung hat zwei ganzzahlige Lösungen.

5. und 6.
Auch so weit ok. Aber nun daran denken, dass i. A. mehrere Winkel existieren für die beispielsweise cos x = 0,5 gilt. Zumindest sollte man den zweiten im Intervall von 0° bis 360° angeben. (Der TR liefert leider nur einen.)

22.04.2008, 15:21

tarzibou

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1. also so: $\begin{eqnarray*} \sqrt[6]{\frac{x^{4}}{y^{3} } } \end{eqnarray*}$

3. hm, da habe ich:
$\begin{eqnarray*} x_1 =\frac{-a^{2}-a+1}{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 1 \end{eqnarray*}$

4. ich komm auf dasselbe. hast du das x abgezogen? damit ergibt sich 0=2x²+6x-4

5. mit 360-x:

x1= 60°; 300°
x2= 75,5°; 284,5°

6. x=38,67°; 321,33°

22.04.2008, 17:23

TheWitch

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1.
Ja, genau so.

3.
Das ist nicht richtig. Nach dem Erweitern und Zusammenfassen steht unter der Wurzel $\begin{eqnarray*} \frac{(a^2 + 1)^2}{(2a^2)} \end{eqnarray*}$ . Hast du du das auch? Daraus kannst du dann die Wurzel ziehen. Und anschließend aufpassen wie ein Schießhund mit den Minuszeichen vor den Brüchen.

4.
Da habe ich mich vertan, sorry - deine Lösung war richtig. (Man sollte doch nicht alles im Kopf rechnen.

5. und 6.
Ist ok so, ich habe allerdings 6. jetzt nicht nachgerechnet.

22.04.2008, 17:27

TheWitch

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zu 3. nochmal:

Wenn du deine beiden Lösungen hast, kannst du überprüfen, ob sie stimmen: Die müssen nach Satz des Vieta - 1 ergeben, wenn du sie multiplizierst - und $\begin{eqnarray*} \frac{1 - a^2}{a} \end{eqnarray*}$ , wenn du sie addiert.

24.04.2008, 14:44

tarzibou

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so, ich mach 3. jetzt nochmal komplett neu:

$\begin{eqnarray*} a+x=\frac{1}{x} + \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a+x=\frac{a+x}{ax} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^{2} x+ax^{2} = a+x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ax^{2}+a^{2} x- x-a=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^{2}+(a^{2} - 1)x-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1,_2=- \frac{a^{2}-1}{2a} \mp \sqrt{(\frac{a^{2}-1}{2a} )^{2}+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1,_2=- \frac{a^{2}-1}{2a} \mp \sqrt{(\frac{a^{4}-1}{4a^{2}} )+\frac{4a^{2}}{4a^{2}} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1,_2=- \frac{a^{2}-1}{2a} \mp \sqrt{\frac{a^{4}+4a^{2}-1}{4a^{2}} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1,_2=- \frac{a^{2}-1}{2a} \mp \frac{a^{2}+2a-1}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1=\frac{-2a^{2}-2a-2}{2a} = \frac{-a^{2}-a-1}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ( \Rightarrow x_1=-a-1-\frac{1}{a} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_2=\frac{2a}{2a} =1 \end{eqnarray*}$

24.04.2008, 14:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von tarzibou
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^{2}+(a^{2} - 1)x-1=0 \end{eqnarray*}$

Hier hast du beim zweiten Summanden den Nenner a vergessen.

Zitat:

Original von tarzibou
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1,_2=- \frac{a^{2}-1}{2a} \mp \sqrt{(\frac{a^{4}-1}{4a^{2}} )+\frac{4a^{2}}{4a^{2}} } \end{eqnarray*}$

Hier hast du bei der Auflösung von $\begin{eqnarray*} (\frac{a^2-1}{2a})^2 \end{eqnarray*}$ die 2. binomische Formel mißachtet.

Zitat:

Original von tarzibou
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1,_2=- \frac{a^{2}-1}{2a} \mp \sqrt{\frac{a^{4}+4a^{2}-1}{4a^{2}} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1,_2=- \frac{a^{2}-1}{2a} \mp \frac{a^{2}+2a-1}{2a} \end{eqnarray*}$

Was du hier bei der Auflösung der Wurzel gemacht hast, darüber schweigt des Sängers Höflichkeit. unglücklich

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