Tetraeder und Pyramiden in einem Würfel O.o

02.11.2005, 14:17

~lia~

Tetraeder und Pyramiden in einem Würfel O.o

Ich bin`s schon wieder *blush*

Also, es geht um folgendes (Zeichnung war bei der Aufgabe dabei, kann die aber leider nicht hochladen, weil kein Scanner unglücklich

):

1. Einem Würfel mit der Kantenlänge a wird ein Tetraeder einbeschrieben (Kantenlänge b). Bei mir is hier nun auf dem Blatt ein lustiges Chaos an irgendwelchen Linien Big Laugh

a) Geben Sie den Rauminhalt $\begin{eqnarray*} V_{T} \end{eqnarray*}$ des Tetraeders an (ausgedrückt durch a)

Also bin ich hingegangen und hab für a einfach mal 5 eingesetzt:

=> $\begin{eqnarray*} V_{t}= \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^3 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 5^3 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1,4142}{12} \cdot 125 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 0,11 \cdot 125 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 14,73 cm^3 \end{eqnarray*}$

=> Das Volumen unseres Tetraeders haben wir also nun.

b) Den Würfel kann man sich zusammengesetzt denken aus dem Tetraeder sowie 4 Pyramiden gleichen Grundflächeninhalts.
Wie groß ist der Rauminhalt $\begin{eqnarray*} V_{P} \end{eqnarray*}$ jeder dieser Pyramiden ?

Ich hab mir da nun folgendes bei gedacht:

Der Würfel hat ja Kantenlänge a, also rechne ich jetzt das Volumen $\begin{eqnarray*} V_{W} \end{eqnarray*}$ des Würfels aus:

=> $\begin{eqnarray*} V_{W} = a^3 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 125cm^3 \end{eqnarray*}$

Nun hab ich das Volumen des Würfels und das des Tetraeders, wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} V_{T} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V_{W} \end{eqnarray*}$ abziehe, hab ich ja das Restvolumen $\begin{eqnarray*} V_{P} \end{eqnarray*}$ , aus dem die 4 Pyramiden bestehen...

=> $\begin{eqnarray*} V_{P}= V_{W}- V_{T} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 125cm^3 - 14,73cm^3 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 110,27cm^3 \end{eqnarray*}$

=> Also nehmen die 4 Pyramiden $\begin{eqnarray*} 110,27cm^3 \end{eqnarray*}$ Gesamtvolumen ein, nun noch durch 4 teilen und man hat das Volumen einer Pyramide:

$\begin{eqnarray*} 110,27cm³ : 4 = 27,5675 cm³ \end{eqnarray*}$

c) Machen Sie die Probe, ob die Summe aller 5 Pyramiden-Rauminhalte in der Tat gleich dem Rauminhalt des Würfels ist.

Ich nehme an, daß mit 5 Pyramiden der Tetraeder und die 4 Pyramiden gemeint sind... Die Probe mach ich jetzt hier nicht, das ist ja einfach :P

Kann man das so einreichen, oder hab ich irgendwo nen Denkfehler ? verwirrt

02.11.2005, 15:43

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ~lia~
Bei mir is hier nun auf dem Blatt ein lustiges Chaos an irgendwelchen Linien Big Laugh

Die mit Abstand "beste" Skizzenbeschreibung, die ich je hier im Forum gesehen habe. Und wohl auch der Grund dafür, warum dir bisher keiner geantwortet hat.

Zitat:

Original von ~lia~
=> $\begin{eqnarray*} V_{t}= \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^3 \end{eqnarray*}$

Das ist falsch, denn du hast Würfelkantenlänge $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit Tetraederkantenlänge $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ verwechselt. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} V_{t}= \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot b^3 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du noch $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ermitteln und einsetzen.

b) ist dann natürlich auch falsch (Folgefehler).

02.11.2005, 17:07

~lia~

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß nicht wie ich das mit den skizzen machen muß, tschuldigung unglücklich

du hast natürlich recht und ich hab das mit a und b durcheinander gebracht... werd das dann nochmal rechnen morgen... danke dir trotzdem schonmal smile

02.11.2005, 20:36

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tetraeder und Pyramiden in einem Würfel O.o
braucht man da nicht dieses lustige chaos aus irgendwelchen linien - es tut mir weh, dass das nicht von mir ist! - um weiterrechnen zu können?
werner

02.11.2005, 20:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Skizze
Ich nehme stark an, dass dies gemeint ist:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Tetraeder_animation_with_cube.gif

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Tetrae...n_with_cube.gif

02.11.2005, 20:52

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Skizze
da hat die ~lia~ aber recht, aber scheint lösbar
werner

was ist eigentlich grundflächeninhalt?

02.11.2005, 20:55

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Skizze

Zitat:

Original von wernerrin
da hat die ~lia~ aber recht

Mit dem Linienchaos? Oder womit?

02.11.2005, 20:58

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Skizze
ja, mit dem linienchaos, habe schon was "zueditiert"

werner

02.11.2005, 23:45

~lia~

Auf diesen Beitrag antworten »

also so wie auf dem .gif von Arthur Dent sieht das aus, nur bissi bunt und unübersichtlich für meinen Geschmack, aber ich habs ja nit gezeichnet, lag ja bei der Aufgabe bei Big Laugh

Naja, ich setz mich morgen nochmal dran und poste dann das ganze nochmal neu *G*

03.11.2005, 11:22

Egal

Auf diesen Beitrag antworten »

So wie ich das sehe ist b die Flächendiagonale des Würfels mit der Kantenlänge a. Damit sollte b in Abhängigkeit von a doch recht einfach werden.

Übrigens solltest du um etwas allgemein zu zeigen nicht mit einer Beispielkantenlänge rechnen.

03.11.2005, 13:07

~lia~

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tetraeder und Pyramiden in einem Würfel O.o
So, ich habs nochmal gerechnet, hoffe das kann man so lassen verwirrt

Also bin ich hingegangen und hab für a einfach mal 5 eingesetzt:

a)

=> $\begin{eqnarray*} V_{t}= \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot b^3 \end{eqnarray*}$

b haben wir nicht, also rechnen wir b mit dem Satz des Phytagoras aus:
Da es sich hier um einen Würfel handelt, setze ich 2mal a ein

=> $\begin{eqnarray*} a^2 + a^2 = b^2 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 5^2 + 5^2 = b^2 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 25 +25 = 50 \end{eqnarray*}$ Wurzel ziehen

= $\begin{eqnarray*} 5 +5 = 7,07 \end{eqnarray*}$

=> b ist also 7,07cm lang.

Nun zum Volumen unseres Tetraeders:

=> $\begin{eqnarray*} V_{t}= \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot b^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot (7,07)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1,4142}{12} \cdot 50 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 0,1178 \cdot 50 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 5,8925cm^3 \end{eqnarray*}$

=> Das Volumen unseres Tetraeders haben wir also nun.

b)

$\begin{eqnarray*} V_{W} \end{eqnarray*}$ des Würfels aus:

=> $\begin{eqnarray*} V_{W} = a^3 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 125cm^3 \end{eqnarray*}$

Nun hab ich das Volumen des Würfels und das des Tetraeders, wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} V_{T} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V_{W} \end{eqnarray*}$ abziehe, hab ich ja das Restvolumen $\begin{eqnarray*} V_{P} \end{eqnarray*}$ , aus dem die 4 Pyramiden bestehen...

=> $\begin{eqnarray*} V_{P}= V_{W}- V_{T} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 125cm^3 - 5,8925^3 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 119,11cm^3 \end{eqnarray*}$

=> Also nehmen die 4 Pyramiden $\begin{eqnarray*} 119,11cm^3 \end{eqnarray*}$ Gesamtvolumen ein, nun noch durch 4 teilen und man hat das Volumen einer Pyramide:

$\begin{eqnarray*} 110,27cm³ : 4 = 29,77 cm³ \end{eqnarray*}$

Wie zeigt man so etwas allgemein ? also einfach die Buchstaben in den Formeln stehen lassen ?

03.11.2005, 14:02

Egal

Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein heisst in dem Fall die "Buchstaben" stehen lassen und auch nicht mit 1,414 rechnen. Nur dann kannst du auch sicher sein dass das rauskommt was du willst das rauskommt.

03.11.2005, 14:18

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Tetraeder und Pyramiden in einem Würfel O.o
$\begin{eqnarray*} b=a\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
ist richtig, und wie egal schon geschriben hat, setzt du das nun überall für b ein
werner

03.11.2005, 14:24

Auf diesen Beitrag antworten »

@~lia~

Zunächst mal: Du solltest wirklich mit Variablen statt konkreten Zahlen rechnen - da stimme ich meinen Vorrednern zu.

Und dann hast du dich auch noch verrechnet:

Zitat:

Original von ~lia~
So, ich habs nochmal gerechnet, hoffe das kann man so lassen verwirrt

$\begin{eqnarray*} = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot (7,07)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1,4142}{12} \cdot 50 \end{eqnarray*}$

In der letzten Zeile hast du nur (7,07)^2 statt (7,07)^3 gerechnet, und kommst demzufolge auch auf ein vollkommen falsches Resultat.

03.11.2005, 14:24

Egal

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Hinblick auf die Aufgabe c) geh ich übrigens davon aus, dass du das Volumen der Pyramide mit elementaren Überlegungen berechnen sollst und nicht einfach als ein Viertel des Restvolumens.

Neue Frage »

Antworten »

Tetraeder und Pyramiden in einem Würfel O.o

Verwandte Themen