konjugiertes Quaternion

02.11.2005, 15:03	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
konjugiertes Quaternion es sei eine Matrix A deren Einträge komplexe Zahlen sind. konjugiert man jede einzelne dieser komplexen Zahlen erhält man die komplex-konjugierte Matrix von A. jetzt soll ich ein Beispiel für ein Quaternion finden ( also eine Matrix A, die aus 2x2 komplexen Zahlen besteht ), bei dem das konjugierte Quaternion nicht der komplex-konjugierten Matrix entspricht. dazu muss ich wissen, wie diese beiden Sachen aussehen... meine Vermutung, wenn A so aussieht: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a+bi & c+di \\-c+di & a-bi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a-bi & c-di \\-c-di & a+bi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (1) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a+bi & -c-di \\c-di & -a+bi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (2) (1)die Konjugierte der einzelnen komplexen Zahlen (2)die Konjugierte des Quaternion ist das richtig?
02.11.2005, 23:20	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
für (1) ja für (2) wenn q=a+bi+cj+dk eine Zahl aus den Quaternionen ist (mit Basis 1,i,j,k und den üblichen Relationen) dann ist das konjugierte davon a-bi-cj-dk man dreht also bei den 3 echten Quaternionen jeweils das Vorzeichen man kann den Raum der Quaternionen auch als Raum von 2*2 Matrizen mit komplexen Einträgen darstellen, so wie du das mit der Matrix A gemacht hast. damit ergibt sich dann die konjugierte MAtix für Quaternionen, und da würde ich deiner Rechnung auch zustimmen
08.11.2005, 16:07	Arza	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe die gleiche Aufgabe. Die Lösung für (1) ist bei mir die Gleiche. Bei (2) komme ich auf die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a-bi & -c-di \\c-di & a+bi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bin mir auch sehr sicher, dass das richtige ist.
08.11.2005, 18:12	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin mir ja auch nicht sicher... du hast also erstmal alle Einträge konjugiert und dann die Matrix Transponiert... könnte auch richtig sein... studierst du rein zufällig in Leipzig im 1. Semester?
08.11.2005, 20:50	Arza	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja bin Student in Leipzig im 1. Semester. Bin mir bei meiner Lösung relativ sicher. Da das Quaternion x das konjugierte Quaternion = a² + b²+ c²+ d² sein muss und mit meinem konjugierten Quaternion bin ich genau da drauf gekommen.
08.11.2005, 21:58	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
aber konjugiert heißt doch, dass du von jedem Imaginärteil das Vorzeichen änderst... - also a -bi -cj -dk.
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08.11.2005, 22:08	Arza	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt schon, aber die Matrix stimmt mit der Bildungsvorschrift überein, die ich habe und auch in der Formel q x q (konjugiert) komme ich auf a² + b² + c² + d², also genau das was rauskommen muss. Deshalb bin ich mir auch sicher, dass die Matrix richtig ist. Kann jetzt auch nicht genau sagen, wie ich von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a-bi & -c-di \\c-di & a+bi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf a - bi -cj - dk komme.
09.11.2005, 15:30	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab jetzt auch erstmal deine Lösung genommen, weils auch die ist, die wir in der Vorlesung hatten - also erst alle Einträge konjugieren und dann die Matrix transponieren... - wird schon stimmen. Hast mich also überzeugt

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