Surjektivität einer Komposition

02.11.2005, 15:33	Hans-Dieter	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität einer Komposition Hi, ich habe diese Aufgabe schon im Forum gefunden - allerdings keine "Lösung" - sodaß ich wage nochmal nachzufragen Zu beweisen ist: Sind f und g surjektiv, so ist auch die Komposition g * f surjektiv. (wobei f: A --> B und g: B --> C) Nun habe ich das folgendermaßen gemacht: Da f surjektiv $\begin{eqnarray} \forall_{b \in B} \exists_{a \in A} (f(a) = b) \end{eqnarray}$ Da g surjektiv $\begin{eqnarray} \forall_{c \in C} \exists_{b \in B} (g(b) = c) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \forall_{c \in C} \exists_{a \in A} (g(f(a)) = c) \Rightarrow (g \circ f) \text{ ist surjektiv} \end{eqnarray}$ Jetzt frage ich mich: Ist das der Beweis oder nur eine Umformulierung der Ausgangssituation. Falls das kein Beweis ist wäre ich für einen Hinweis dankbar.
02.11.2005, 18:55	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis ist korrekt, allerdings würde ich ihn noch etwas genauer aufschreiben. Ungefähr so: Sei $\begin{eqnarray} c\in C \end{eqnarray}$ beliebig vorgegeben. Dann gibt es, da $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ surjektiv ist, ein $\begin{eqnarray} b\in B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(b)=c \end{eqnarray}$ . Zu diesem $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ gibt es wegen der Surjektivität dann ein $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(a)=b \end{eqnarray}$ , woraus $\begin{eqnarray} c=g(f(a)) \end{eqnarray}$ folgt. Ich hab einfach nur nochmal speziell das $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ betont. Gruß MSS
02.11.2005, 21:44	Hans-Dieter	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für die Antwort. Aber deshalb habe ich doch extra die beiden Zeilen "Da f surjektiv ..." und "Da g surjektiv ..." hingeschrieben? Ich habs jetzt aber trotzdem nochmal genauer beschrieben daß es sich um eben dieses b handelt - sicher ist sicher. Danke!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »