[WS] Partielle Integration - Rekursionsformeln

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[WS] Partielle Integration - Rekursionsformeln
Überblick

Der Workshop "Partielle Integration - Rekursionsformeln" richtet sich an alle Interessenten der Mathematik, die über allgemeines Wissen der partiellen Integration verfügen. Zum Nachvollziehen der Beweise mit vollständiger Induktion sind Kenntnisse im Rechnen mit Fakultät und Summen hilfreich.
Es wird in 1. ein ausführliches Beispiel gezeigt, wie eine Rekursionsformel gefunden wird. Anschliessend wird diese Rekursionsformel mit vollständiger Induktion bewiesen. In 2. folgt dann eine allgemeinere Version dieses Integrationstyps und Funktionen, die diese allgemeine Rekursionsformel erfüllen. Es werden insgesamt drei unterschiedliche Integrationstypen behandelt. Abschliessend in 6. folgt noch eine etwas umfangreiche Funktion.

Gliederung

  1. Exponentialfunktion
    1a. Rekursionsformel zur Integration
    1b. Beweis mit vollständiger Induktion

  2. Exponentialfunktion allgemein und Funktionen vom gleichen Integrationstyp
    2a. Definition
    2b. Beweis mit vollständiger Induktion
    2c. Funktionen vom gleichen Integrationstyp

  3. Cosinusfunktion
    3a. Doppelfakultät
    3b. Rekursionsformel zur Integration
    3c. Beweis mit vollständiger Induktion

  4. Cosinusfunktion allgemein und Funktionen vom gleichen Integrationstyp
    4a. Definition
    4b. Beweis mit vollständiger Induktion
    4c. Funktionen vom gleichen Integrationstyp

  5. Periodische Funktionen
    5a. Definition
    5b. Beweis mit vollständiger Induktion
    5c. Funktionen vom gleichen Integrationstyp

  6. Sinus-Cosinusfunktion
    6a. Rekursionsformel zur Integration
    6b. Beweis mit vollständiger Induktion

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Exponentialfunktion














Herleitung der Rekursionsformel













Beweis mit vollständiger Induktion

n=0:



n n + 1:

















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Exponentialfunktion allgemein und Funktionen vom gleichen Integrationstyp




















Beweis mit vollständiger Induktion

n=1:











n n + 1:















Exponentialfunktion









Logarithmusfunktion









Beispiele









Sinus hyperbolicus








































Cosinus hyperbolicus









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Cosinusfunktion
Doppelfakultät n!!











Partielle Integration Cosinusfunktion
















Herleitung der Rekursionsformel















Beweis mit vollständiger Induktion



k=1 (n=2):









k k + 1 (n n + 2):























k=1 (n=1):







k k + 1 (n n + 2):











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Cosinusfunktion allgemein und Funktionen vom gleichen Integrationstyp


















Beweis mit vollständiger Induktion



k=1 (n=2):









k k + 1 (n n + 2):





















k=1 (n=1):





k k + 1 (n n + 2):















Sinusfunktion











Cosinusfunktion











Sinus hyperbolicus











Cosinus hyperbolicus











Wallissche Produkt






































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Periodische Funktionen


















Beweis mit vollständiger Induktion

n=0:







n n + 1:





















Sinusfunktion













Cosinusfunktion











 
 
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Sinus-Cosinusfunktion
Partielle Integration Sinus-Cosinusfunktion











Reduzieren der Potenz n







Reduzieren der Potenz m





















Rekursionsformeln



Beweis mit vollständiger Induktion





k=1 (n=1):







k k + 1 (n n + 2):





















k=1 (m=1):







k k + 1 (m m + 2):

















Reduzieren der Potenz n









k=1 (m, n = 2)









k k + 1 (m m + 2, n n + 2):













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