Rekursive Folgen -> Grenzwert-Bestimmung

06.04.2004, 17:05	Stardust	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folgen -> Grenzwert-Bestimmung Also, ich hätte da mal ne Frage unser Lehrer ist nämlich nicht so der Held im Erklären. Und zwar habe ich eine rekursive Folge mit $\begin{align} a_1=1 \end{align}$ und $\begin{align} a_{n+1}=\sqrt{a_n}+2 \end{align}$ . Von dieser Folge soll nun der Grenzwert bestimmt werden. Dazu habe ich auch die Lösung, aber an einer Stelle verstehe ich nicht, was unser Lehrer da gemacht hat: $\begin{align} \lim_{n\to \infty} a_{n+1}=\lim_{n\to \infty} \sqrt{a_n}+2 \end{align}$ So und dann schreibt er: Demnach gilt: $\begin{align} a=\sqrt{a_n}+2 \end{align}$ und löst das ganze dann nach a auf .... aber wie kommt er zu diesem Schritt? Würde mich freuen, wenn mir das jemand verständlich erklären kann.
06.04.2004, 17:32	Drödel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursive Folgen -> Grenzwert-Bestimmung Nun, wenn eine rekursiv definierte Folge gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert, dann heißt das doch, dass sich $\begin{align} a_n \end{align}$ ab einem bestimmten n nicht mehr um "sehr viel" von $\begin{align} a_{n+1} \end{align}$ unterscheiden. Im Grenzfall ist es sogar so, dass $\begin{align} a_n \end{align}$ gleich $\begin{align} a_{n+1} \end{align}$ ist. Daher kann man also setzen: $\begin{align} a_n = a_{n+1} \end{align}$ oder für deine spezielle Folge: $\begin{align} a_n = \sqrt{a_n}+2 \end{align}$ (einfach das Bildungsgesetz für $\begin{align} a_{n+1} \end{align}$ eingesetzt) . Löst man nun nach $\begin{align} a_n \end{align}$ auf, so erhält man den Grenzwert, gegen den die Folge konvergiert. Reicht das? Happy Mathing
06.04.2004, 18:18	Stardust	Auf diesen Beitrag antworten »
na wie geil! ist das einfach g manchmal ist simpel-denken ganz schön schwer :P vielen dank!

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