Basis vom Untervektorraum

02.11.2005, 22:02

tobi25s

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Basis vom Untervektorraum

Hi,

ich soll im Vektorraum R³ =<E1,E2,E3> mit E1 (1;0;0), E2 (0;1;0) und E3 (0;0;1)
die Vektoren At (1;1;t) , B= (1;3;3) und C = (-1;1;0) betrachten.

Die Vektoren At, B und C erzeugen für t=1,5 den Untervektorraum U von R³.

Ich soll nun zeigen, dass A1,5 und C eine Basis von U bilden ?

Wie zeige ich das ??

02.11.2005, 22:10

sqrt(2)

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Wenn du zeigst, dass du B mit A_1.5 und C ausgedrückt werden kann, dann lässt sich jeder durch A_1.5, B und C erzeugte Vektor auch nur durch A_1.5 und C erzeugen, damit hast du dann deine Basis.

02.11.2005, 22:52

tobi25s

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da 2* At + C = B ist, bedeutet das automatisch, dass A und C eine Basis von U bildet ??

03.11.2005, 16:12

sqrt(2)

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Ja, da U durch At, B und C erzeugt wird, und du überall für B 2At+C einsetzen kannst.

03.11.2005, 21:04

tobi25s

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U kann auch mit Hilfe der in R³ üblichen kanonischen Basis E1,E2,E3 beschrieben werden (X= x1E1+x2E2+x3E3)

also:

U = $\begin{eqnarray*} \{ X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= x1+ p* x2 + q * x3 =0\} \end{eqnarray*}$

Wie bestimme ich die reellen Zahlen p und q ??

03.11.2005, 22:05

sqrt(2)

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A_1.5 und C spannen als Basis von U sozusagen eine Ebene auf. Da gemäß der Voraussetzungen für einen Unterraum gilt $\begin{eqnarray*} \vec{0}\in U \end{eqnarray*}$ , hast du auch einen Aufvektor für diese "Ebene", die du nur in Koordinatenform bringen und so normieren musst, dass der Vorfaktor von x_1 eins ist.

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03.11.2005, 22:08

tobi25s

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verwirrt

Wie lautet der "Aufvektor" ??

03.11.2005, 22:11

sqrt(2)

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Na, $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ .

07.11.2005, 21:18

tobi25s

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verwirrt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1,5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

muss ich also auf Koordinatenform bringen ?????

07.11.2005, 21:23

sqrt(2)

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Wenn du

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\1{,}5\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

schreibst, dann ja.

08.11.2005, 20:32

tobi25s

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also müßte
p= 1 und q= - 4/3 lauten !?

des weiteren soll ich bei der gegeben Bilinearform f
mit f(X,Y)= x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 - x2y3 -x3y2 +x3y3
beweisen, dass f in R³ kein Skalarprodukt ist, aber in U.

??

08.11.2005, 22:39

sqrt(2)

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Zitat:

Original von tobi25s
also müßte
p= 1 und q= - 4/3 lauten !?

Ja.

Freude

Zitat:

Original von tobi25s
des weiteren soll ich bei der gegeben Bilinearform f
mit f(X,Y)= x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 - x2y3 -x3y2 +x3y3
beweisen, dass f in R³ kein Skalarprodukt ist, aber in U.

Dass es bilinear ist, wissen wir, weil gegeben ist, dass f eine Bilinearform ist. Beweise zunächst einmal die Symmetrie in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ durch einfaches Einsetzen und Umstellen, damit hast du die dann auch für $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ bewiesen. Mit der positiven Definitheit bekommst du allerdings bei einem Beweis auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ein Problem, setze dazu auch einfach ein, da sollte dir etwas ins Auge springen, was dir beim Umformen hilft. Dann sollte es dir leicht fallen, ein Gegenbeispiel anzugeben.

So weit erstmal, zum Beweis des Skalarprodukts in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ kommen wir dann.

11.11.2005, 19:44

tobi25s

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?

Symmetrie bedeutet doch (X,Y) = (Y.X)

Da lediglich Multiplikations-Faktoren "gedreht" werden, ist die Symmetrie gegeben (Kommutativgesetzt).

??

11.11.2005, 20:05

sqrt(2)

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Ja klar, die Symmetrie ist kein Problem. Damit hast du schon mal gezeigt, dass diese Eigenschaft des Skalarprodukts in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ und damit auch in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gilt.

Worum es aber eigentlich bei der Aufgabe geht:

Zitat:

Original von sqrt(2)
Mit der positiven Definitheit bekommst du allerdings bei einem Beweis auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ein Problem, setze dazu auch einfach ein, da sollte dir etwas ins Auge springen, was dir beim Umformen hilft. Dann sollte es dir leicht fallen, ein Gegenbeispiel anzugeben.

11.11.2005, 20:54

tobi25s

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hmm,

alle Skalarprodukte sind positiv (egal ob (A;A) , (B;B) oder (C;C) )

11.11.2005, 20:59

sqrt(2)

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Ja. Zur positiven Definitheit gehört aber auch

$\begin{eqnarray*} \langle \vec{x},\vec{x} \rangle = 0 \text{ nur für } \vec{x} = \vec{0} \end{eqnarray*}$ ,

und da stößt du in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ auf Probleme. Warum?

11.11.2005, 23:06

tobi25s

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?
für X= (0;0;0) ist das Skalarprodukt = 0

verwirrt

verwirrt

11.11.2005, 23:53

sqrt(2)

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Ja. Darf es auch.

Verstehst du die Aufgabenstellung überhaupt, oder ist die es, die die Probleme bereitet?

12.11.2005, 12:19

tobi25s

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Ich soll die Vorraussetzungen für Skalarprodukte prüfen

- f(X;Y) = f(X;Y) für alle X,Y
- f(X,X) größer Null für alle X

verwirrt

verwirrt

12.11.2005, 12:24

sqrt(2)

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- f(X, X) = 0 nur für X = 0

12.11.2005, 22:38

tobi25s

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Das Problem ist also, dass (X,X)= 0 nicht nur für X=0 gegeben ist ?

verwirrt

verwirrt

12.11.2005, 22:41

sqrt(2)

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Richtig. Gib ein Beispiel dafür an, um zu beweisen, dass diese Voraussetzung nicht erfüllt ist.

13.11.2005, 12:10

tobi25s

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z.B. :

X = (1;-1;1)

13.11.2005, 12:46

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} \langle \vec{x},\vec{x} \rangle = (x_1+x_2)^2+(x_2-x_3)^2 \end{eqnarray*}$ ;

wenn man dein $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ einsetzt, erhält man

$\begin{eqnarray*} (1-1)^2+(-1-1)^2=4\neq0 \end{eqnarray*}$ .

13.11.2005, 15:07

tobi25s

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hmm, also für X = (-1;1;1)

13.11.2005, 15:56

sqrt(2)

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Zum Beispiel, ja. Jetzt musst du diese Eigenschaft nur noch für $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ beweisen, dann hast du gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist. Löse dafür deine Gleichung für $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ nach einer der drei Variablen auf und setze in das Skalarprodukt ein.

16.11.2005, 21:21

tobi25s

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hmm,

U in das Skalarprodukt eingesetzt, ergibt nach meiner Rechnung:

= 4/3 X3 + (X2-X3)

ist das richtig ?

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