Diophantische Gleichung

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03.11.2005, 17:21	mark	Auf diesen Beitrag antworten »
Diophantische Gleichung Hallo brauche dringend Hilfe... Wie viele Lösungen besitzt die diophantische Gleichung a) x1+x2+x3+x4=10 x1,x2,x3,x4 element N b) x1+x2+x3+x4=10 x1,x2,x3,x4 element No
03.11.2005, 17:30	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fange mal mit b) an: Die Problemstellung lässt sich kombinatorisch folgendermaßen deuten: Es wird 10-mal aus der Menge der Indizes { 1, 2, 3, 4 } gezogen (also mit zugelassener Wiederholung). $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ ist dann die Anzahl, wie oft Index $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ gezogen wurde. Und bei a) verfahren wir ähnlich, nur dass hier ja $\begin{eqnarray} x_k\geq 1 \end{eqnarray}$ gefordert wird. Also betrachten wir stattdessen Variablen $\begin{eqnarray} y_k=x_k-1 \end{eqnarray}$ , die die Eigenschaft $\begin{eqnarray} x_k\in\mathbb{N} \quad\Longleftrightarrow\quad y_k\in\mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ aufweisen und damit dann das Problem a') $\begin{eqnarray} y_1+y_2+y_3+y_4=6 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y_1,y_2,y_3,y_4\in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$
03.11.2005, 18:53	mark	Auf diesen Beitrag antworten »
so ungefähr hatte ich mir das ja schon aufgeschrieben, nur ich versteh nicht so ganz wie es jetzt weiter geht. Du hast doch bestimmt einen schlauen Tipp für mich
03.11.2005, 19:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wird 10mal aus einer Menge ausgewählt, mit Wiederholung. Da ist eigentlich schon fast alles gesagt - bleibt nur noch die Frage: Kombinationen oder Variationen? Also: Spielt es eine Rolle, in welcher Reihenfolge die 10 Indizes gewählt werden (d.h. Variationen) - oder spielt es keine Rolle (d.h. Kombinationen) ?
05.11.2005, 14:52	Billi	Auf diesen Beitrag antworten »
es dürfte doch eigentlich keine Rolle spielen, in welcher Reihenfolge, oder? Also Kombination m. W. !?
05.11.2005, 14:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »

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05.11.2005, 15:31	Billi	Auf diesen Beitrag antworten »
sehen wir das richtig, dass wir dann die formel k(n,s)= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} s+n-1 \\ s \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ anwenden?? wir haben überlegt, dass n=4 ist, aber was ist dann s????
05.11.2005, 15:39	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na was schon: s=10 ist die Anzahl der auszuwählenden Elemente.
05.11.2005, 15:56	Billi	Auf diesen Beitrag antworten »
also....ist fast logisch, allerdings haben wir nun folgendes problem: bei aufgabenteil a) können wir aus 7 elementen wählen, nämlich den zahlen 1-7; s wäre dann =7 bei aufgabenteil b) können wir aus 11 elementn wählen, nämlich den zahlen 0-10 einschließlich; s wäre dann =11 aber: wir dürfen ja auch nur die kombinationen nehmen, die in der summe 10 ergeben. wie finden wir das heraus?
05.11.2005, 16:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub, da hast du was gründlich missverstanden: n=4 ... Anzahl der Elemente (hier: Indizes), aus denen ausgewählt wird, in beiden Teilaufgaben s ... Anzahl der auszuwählenden Elemente a) s=6 b) s=10 Jede einzelne Teilauswahl eines Index entspricht einem Anteil "1" an der Summe! EDIT: Zur Illustration hier mal exemplarisch eine solche Auswahl für b): $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|\|c\|c\|c\|c} k & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline & 1 & & 1 & 1\\ & 1 & & 1 & 1\\ & 1 & & & 1\\ & & & & 1\\ & & & & 1\\ \hline x_k & 3 & 0 & 2 & 5\end{array} \end{eqnarray}$ Und hier noch eine für a) - dabei ist zu beachten, dass die erste Zeile durch die Bedingung $\begin{eqnarray} x_k\geq 1 \end{eqnarray}$ vorbelegt ist (daher die 1 im Sinne von nicht wählbar): $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|\|c\|c\|c\|c} k & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline\hline & 1* & 1 & 1 & 1\\ \hline & 1 & & 1 & 1\\ & 1 & & & 1\\ & 1 & & & \\ & & & & \\ \hline\hline x_k & 4 & 1 & 2 & 3\end{array} \end{eqnarray*}$
05.11.2005, 16:22	Billi	Auf diesen Beitrag antworten »
hey!!!......ja das is ja super....jetzt haben wir's verstanden!!! das ist ja nett mit der anchaulichen tabelle!!

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