[WS] Einführung in e-Funktionen

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[WS] Einführung in e-Funktionen
Allgemeine Exponentialfunktionen

Wachstumsvorgänge, die sich durch eine Exponentialfunktion darstellen lassen, nennt man exponentielles Wachstum.
Hierbei ist und

Eigenschaften von
-Definitionsmenge
-Wertemenge
- ist spiegelverkehrt zu bezüglich der y-Achse.

-Für gilt:
  • monoton steigend
  • stetig



Der zugehörige Graph:


- für gilt:
  • monoton fallend
  • stetig



Der zugehörige Graph:


Der Graph verläuft durch
bei ist der Graph gestreckt, bei ist der Graph gestaucht.

1. Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion





Die Natürliche Exponentialfunktion
Die natürliche Exponentialfunktion hat die Besonderheit, dass die Ableitung genau der Ursprungsfunktion entspricht:
Dieses liegt an der besonderen Basis e:

e ist die eulersche Zahl (2,718281828459045235...)




Ableitungen zusammengesetzter Funktionen:




Exponentielles Wachstum
Exponentielles Wachstum kann immer mit einer natürlichen Exponentialfunktion beschrieben werden.
Dabei gilt:
Für den Zerfall gilt:

Lambda ist ist die Zerfallskonstante.

Wie immer gilt: die Erste Ableitung gibt die Wachstumsgeschwindigkeit an, die zweite Ableitung gibt die Beschleunigung der Wachstumsgeschwindigkeit an.


Die natürliche Logarithmusfunktion
ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.
Eigenschaften









Nullstellen








Ableitung:






Woran kann man erkennen, dass es sich um exponentielles Wachstum handelt? (Funktionsanpassungen)
Ganz einfach: man trägt anstatt auf der y-Achse ab. Erhält man eine lineare Funktion, so ist eine Exponentialfunktion.
Aus der sich hier ergebenden linearen Funktion kann man f(x) bilden, da hier folgendes gilt:
f(x)=e hoch y-Achsenabschnitt der linearen Funktion
k=Steigung der linearen Funktion
Dieses ist besonders hilfreich, wenn man keine Funktion, sondern nur einzelne Werte hat. Diese kann man wie oben beschrieben auftragen und dann die zu den Werten passende Exponentialfunktion ermitteln.


beschränktes Wachstum
Dies sind Wachstumsvorgänge, die sich nicht exponentiell entwickeln können, weil dem Anwachsen oder Abnehmen natürliche Grenzen gesetzt sind. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist dabei proportional zur Differenz der Sättigung und des Bestandes.
Die Zu-bzw. Abnahme ist pro Zeiteinheit geringer, je mehr sich der Bestand der Sättigungsgrenze S nähert.

=Sättigungsmanko
Die erste Ableitung ist proportional zum Sättigungsfaktor.


: beschränktes Wachstum

: beschränkter Zerfall



Logistisches Wachstum:
Differentialgleichung:


S=Sättigung
a=Anfangswert
S >= 0
Dieser Wachstumsvorgang entwickelt sich zunächst exponentiell. Mit zunehmender Zeitdauer verlangsamt es sich allerdings und kommt schließlich zum Erliegen.
Zunächst ist die Geschwindigkeit proportional zum Wachstum .
Gegen Ende des Beobachtungszeitramues nähert sich das Wachstum dem beschränkten Wachstum, damit ist
Insgesamt ist die Geschwindigkeit proportional zum Produkt aus dem Bestand und dem Sättigungsmanko .
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So, hier kommen dann jetzt noch Beispielaufgaben rein...

Aufgaben
1. Allgemeine Exponentialfunktion
Auf der Erde leben 6 Milliarden Menschen. Es wird prognostiziert, dass der Zuwachs pro Jahr 1,4 % beträgt.
Stelle die passende Formel auf und errechne, wieviele Menschen in 50 Jahren auf der Erde wohnen.

2. exponentielles Wachstum
2.1 Ableiten zusammengesetzter Funktionen
2.1.1
2.1.2

2.2 Textaufgaben
2.2.2 Mobilfunk
In den letzten 10 Jahren nutzen zunehmend mehr Kunden in Deutschland das Mobilfunknetz. Die Entwicklung seit 1992 zeigt die folgende Tabelle:



a) Bestimme die Funktion durch die Parameter c und k mit Hilfe von 2 Wertepaaren und untersuche die Abweichungen von den nicht verwendeten Werten.
b) Welche Kundenzahl ergibt sich für das Jahr 2002?
c) Inwieweit ist ein solcher Ansatz realistisch?
d) Bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit. In welchen Zeitabschnitten war die Wachstumsgeschwindigkeit am größten?

3. Logarithmusfunktionen
3.1Ableiten
3.1.1


Lösungen
1.
Nach 50 Jahren beträgt die Bevölkerungszahl 12.024.000.090

2.1.1:



2.1.2:




2.2.2
a)


 
 
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