Beweis der Formel bei part. Integration

03.11.2005, 21:53

MrPSI

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Beweis der Formel bei part. Integration

Guten Abend allerseits,

ich hab mal wieder eine Bitte bezüglich der Integralrechnung.
Ich würde gerne die Formel zur Partiellen Integration von bestimmten Integralen beweisen bzw. herleiten!
(Auf Mathe-Online kann man das nachlesen.)

Mein Ansatz war den die Vorgehensweise beim Beweis der Formel für unbestimmte Integrale anzuschauen, dann das Ganze rückwärts ablaufen lassen, dieses "Rückwärtslaufen" dann auf die Formel für bestimmte Integrale anzuwenden und den Beweis dann von vorn wieder "abspielen".
Aber da es sich hier um bestimmte Integrale handelt, und deshalb auch Differenzen von Stammfunktionen und so auftauchen funktioniert mein Ansatz auch nicht mehr.

Könnt ihr mir bitte helfen Ansätze für einen Beweis oder eine Herleitung zu finden?
Ich danke schon mal im Voraus für jede Hilfe.

03.11.2005, 22:08

Mathespezialschüler

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Der Beweis für die partielle Integration bei unbestimmten Integralen bringt ja bei Übertragung erstmal nichts. Aber du kannst die partielle Integration für unbestimmte Integrale ja einfach benutzen. Unter den geeigneten Voraussetzungen (u.a.: $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sei eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die ja nach einem Teil des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung immer vorhanden ist.) ist nämlich

$\begin{eqnarray*} H(x):=F(x)g(x)-\int_a^x~F(t)g'(t)\mathrm dt \end{eqnarray*}$

eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} fg \end{eqnarray*}$ . Und jetzt brauchst du nur noch den anderen Teil des Hauptsatzes.

Gruß MSS

05.11.2005, 11:31

MrPSI

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Danke erstmal für den schnellen Ansatz.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Und jetzt brauchst du nur noch den anderen Teil des Hauptsatzes.

Gruß MSS

Was ist dieser andere Teil? Der Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung besteht doch nur aus einer Formel, oder etwa nicht?
Und ich hab auch ein Problem mit einer Schreibweise in der Formel f. part. Int.

Ich weiß nämlich nicht was $\begin{eqnarray*} F(x)g(x)\mid_a^b \end{eqnarray*}$ bedeutet. Wenn da nur F(x) stehen würde, dann wüßte ich es.

05.11.2005, 13:46

MrPSI

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ist dieses $\begin{eqnarray*} F(x)g(x)\mid_a^b \end{eqnarray*}$ vielleicht das: $\begin{eqnarray*} F(b)g(b)-F(a)g(a) \end{eqnarray*}$ ?

05.11.2005, 23:04

MrPSI

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Also ich weiß echt nicht mehr weiter! Hilfe

Hilfe

Ich weiß nicht wie ich von der Formel für unbestimmte Integrale auf die Formel für bestimmte Integrale mittels Hauptsatz komme.

Könnt ihr mir bitte näher erläutern wie man das schafft.
Außerdem verstehe ich auch einiges, was ich weiter oben schon gefragt habe, nicht.

06.11.2005, 00:01

schrawenzel

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Also da kann dir ich jetzt helfen smile

smile

Ja, das $\begin{eqnarray*} F(x)g(x)\mid_a^b \end{eqnarray*}$ ist F(b)g(b)-F(a)g(a). Da musst du nur die Grenzen einsetzen.

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06.11.2005, 00:19

MrPSI

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wie sich das Blatt gewendet hat..... Big Laugh

Big Laugh

wieso darf man da einfach überall (auch bei der Multiplikation F(x)g(x)) die Grenzen einsetzen?

und wieso darf man anstatt $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^x \end{eqnarray*}$ schreiben?
So wie ich das verstanden hab gilt diese Beziehung doch bloß für die Flächenfunktion und nicht für jede Stammfunktion, da, wenn jede Stammfunktion eine Flächenfunktion wäre, sich aufgrund der Tatsache, dass sich jede Stammfunktion von einer anderen um eine Konstante unterscheidet, für ein bestimmtes Intervall unendlich viele verschiedene Flächenwerte ergeben würde.

06.11.2005, 01:14

Mathespezialschüler

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Sorry, dein Problem verstehe ich nicht ganz. Wenn $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion ist und $\begin{eqnarray*} G=F+C \end{eqnarray*}$ ebenfalls eine, dann gilt doch

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(x)~\mathrm dx=F(b)-F(a)=F(b)+C-(F(a)+C)=G(b)-G(a) \end{eqnarray*}$ .

Da kommen also nicht verschiedene Ergebnisse raus. Aber das war wohl nicht, was du meintest oder? Bitte drücke dich etwas besser aus!

Gruß MSS

06.11.2005, 01:39

MrPSI

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Wie immer bei diesem Thema greif ich auf einen Teil von Mathe-Online zurück. Dort hat man die Beziehung zw. unbestimmten und bestimmten Integral erklärt und ich hab das so verstanden, dass das nur bei der Flächenfunktion gilt.
Und da hab ich mir überlegt ob jede Stammfunktion eine Flächenfunktion ist, und das Ergebnis dieser Überlegung war "Nein".
Mir geht es dabei nicht um das Berechnen der Fläche, wie du oben erkannt hast, sondern um die Stammfunktion an sich.

Und deshalb frage ich mich wieso du bei $\begin{eqnarray*} \int f(x)g(x)=F(x)g(x)-\int\limits F(x)g'(x) dx \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$
einfach $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^x \end{eqnarray*}$ schreiben kannst.

06.11.2005, 02:08

Mathespezialschüler

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Das kann ich wegen des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Gruß MSS

06.11.2005, 14:01

MrPSI

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so, nach weiteren Überlegungen bin ich auch auf die Erkenntnis gestoßen, dass jede Stammfunktion eine Flächenfunktion darstellen kann.
Überlegung: Es könnte ja bei einer Funktion für jedes mögliche Intervall eine Flächenfunktion hergeleitet werden, die ja dann auch eine Stammfunktion ist. Und da es unendlich viele Intervalle gibt, gibt es auch unendlich viele Flächenfunktionen, und es gibt genauso viele Stammfunktionen. Folglich kann man dann jeder Flächenfunktion eine Stammfunktion zuordnen.

back to topic:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^x f(t)g(t)dt=F(t)g(t)-\int\limits_a^x F(t)g'(t)dt \end{eqnarray*}$
hier sind wir stehen geblieben. man kann jetzt $\begin{eqnarray*} x:=b \end{eqnarray*}$ setzen.
$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(t)g(t)dt=F(t)g(t)-\int\limits_a^b F(t)g'(t)dt \end{eqnarray*}$
Aber jetzt fehlt noch der letzte Schritt: wie kommt man von $\begin{eqnarray*} F(t)g(t) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} F(b)g(b)-F(a)g(a) \end{eqnarray*}$ ?

06.11.2005, 15:12

schrawenzel

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Da setzt du einfach die Grenzen ein:

$\begin{eqnarray*} [F(x)g(x)]_{b}^a=F(b)g(b)-F(a)g(a) \end{eqnarray*}$

Ganz einfach so, wie du es bei ner normalen Funktion auch machen würdest^^

06.11.2005, 16:30

MrPSI

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Das versteh ich aber nicht. Wieso ist F(t)g(t)=F(b)g(b)-F(a)g(a)?

06.11.2005, 18:43

Mathespezialschüler

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Weil du die Grenzen bei dieser Stammfunktion noch einsetzen muss.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Unter den geeigneten Voraussetzungen (u.a.: $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sei eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die ja nach einem Teil des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung immer vorhanden ist.) ist nämlich

$\begin{eqnarray*} H(x):=F(x)g(x)-\int_a^x~F(t)g'(t)\mathrm dt \end{eqnarray*}$

eine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} fg \end{eqnarray*}$ . Und jetzt brauchst du nur noch den anderen Teil des Hauptsatzes.

Nach dem anderen Teil des Hauptsatzes ist nämlich

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(x)g(x)~\mathrm dx=H(b)-H(a) \end{eqnarray*}$

und wenn du das ordentlich einsetzt, dann siehst du schon, dass da das Richtige rauskommt.

Gruß MSS

07.11.2005, 15:02

MrPSI

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Ich hab hier die Formel
$\begin{eqnarray*} H(t)=\int\limits_a^x f(t)g(t)dt=F(t)g(t)-\int\limits_a^x F(t)g'(t)dt \end{eqnarray*}$

dann ist
$\begin{eqnarray*} H(b)=\int\limits_a^x f(b)g(b)db=F(b)g(b)-\int\limits_a^x F(b)g'(b)db \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} H(a)=\int\limits_a^x f(a)g(a)da=F(a)g(a)-\int\limits_a^x F(a)g'(a)da \end{eqnarray*}$ .
Eingesetzt in die Gleichung $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x)g(x)dx=H(b)-H(a) \end{eqnarray*}$ ergibt das
$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x)g(x)dx=F(b)g(b)-\int\limits_a^x F(b)g'(b)db-(F(a)g(a)-\int\limits_a^x F(a)g'(a)da)=\\ F(b)g(b)-\int\limits_a^x F(b)g'(b)db-F(a)g(a)+\int\limits_a^x F(a)g'(a)da=\\ F(b)g(b)-F(a)g(a)-\int\limits_a^x F(b)g'(b)db+\int\limits_a^x F(a)g'(a)da=\\ F(b)g(b)-F(a)g(a)-(\int\limits_a^x F(b)g'(b)db-\int\limits_a^x F(a)g'(a)da) \end{eqnarray*}$

Da db=da=dx gilt kann man auch schreiben:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(x)g(x)dx=F(x)g(x)\mid_a^b-\int\limits_a^x (F(b)g'(b)-F(a)g'(a))dx \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich zwar das eine Problem gelöst, aber dafür schaffe ich es nicht das Integral hinter dem Minus weiter zu vereinfachen.

//edit: ich bin noch einen Schritt weiter gekommen: man kann ja einfach anstatt $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b \end{eqnarray*}$ schreiben. Aber wie man dann den letzten Vereinfachungsschritt macht, weiß ich trotzdem nicht.

07.11.2005, 22:44

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von MrPSI
Ich hab hier die Formel
$\begin{eqnarray*} H(t)=\int\limits_a^x f(t)g(t)dt=F(t)g(t)-\int\limits_a^x F(t)g'(t)dt \end{eqnarray*}$

Das ist schon falsch und der Rest sieht dementsprechend nicht sehr gut aus! Du hast da ganz schön die Variablen vertauscht! Es ist

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(x)g(x)~\mathrm dx=[H(x)]_a^b=\left[F(x)g(x)-\int_a^x~F(t)g'(t)\mathrm dt\right]_a^b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\left(F(b)g(a)-\int_a^b~F(t)g'(t)\mathrm dt\right)-\left(F(a)g(a)-\int_a^a~F(t)g'(t)\mathrm dt\right) \end{eqnarray*}$

und jetzt habe ich schon fast alles verraten.

Gruß MSS

07.11.2005, 23:06

MrPSI

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stimmt, der Rest ist ein Kinderspiel, wenn man die Regel für angrenzende Intervalle kennt.

aber ich hab noch eine Frage, die jetzt vielleicht etwas blöd klingt:
wenn ich bei $\begin{eqnarray*} \int f(x)g(x) dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x) dx \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^x \end{eqnarray*}$ einsetze, wieso wird dann nur in den Integralen selbst die Bezeichnung von x in t geändert?
Die Variable x ist doch überall gleich, und wenn ich für x=t setze dann sollte doch auch überall t drinn stehen(außer bei der Integrationsgrenze natürlicht), oder etwa nicht?

07.11.2005, 23:14

Mathespezialschüler

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Sie bedeutet aber nicht überall dasselbe. Bei den Integralen ist es die Integrationsvariable, bei $\begin{eqnarray*} F(x)g(x) \end{eqnarray*}$ ist die Funktionsvariable. Da muss man halt beim Übergang von unbestimmten zu bestimmten Integralen immer genau aufpassen und sich klar machen, welche Variable was bedeutet.

Gruß MSS

07.11.2005, 23:32

MrPSI

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Gut, jetzt hab ich es verstanden.
Vielen Dank für die Hilfe und eure Geduld! smile

smile

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