Potenzkommutative Zahlen

03.11.2005, 22:19	Takeshi	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzkommutative Zahlen Hallo, ich suche Zahlenpärchen von natürlichen Zahlen (a,b) mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} a^{b}=b^{a} \end{eqnarray}$ Spontan fällt mir da nur (2,4) ein. Gibt's eine Methode, solche Zahlen zu finden?
03.11.2005, 23:11	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt sogar unendlich viele Lösungen, nämlich alle Paare $\begin{eqnarray} (a,a) \end{eqnarray}$ . Falls du aber nach Lösungspaaren $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ mit positiven ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} a<b \end{eqnarray}$ suchst, dann ist (2,4) tatsächlich die einzige Lösung: Denn es muss $\begin{eqnarray} \sqrt[a]{a} = \sqrt[b]{b} \end{eqnarray}$ gelten, aber die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt[x]{x} \end{eqnarray}$ ist für $\begin{eqnarray} x\geq e \end{eqnarray}$ monoton fallend, und für $\begin{eqnarray} 1\leq x\leq e \end{eqnarray}$ monoton wachsend. $\begin{eqnarray} f(a)=f(b) \end{eqnarray}$ kann also für positive ganze Zahlen $\begin{eqnarray} a<b \end{eqnarray}$ nur klappen, wenn $\begin{eqnarray} a=2 \end{eqnarray}$ ist.

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