Dimension U bestimmen

19.04.2008, 09:50	MarkusHog	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension U bestimmen Hallo, habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe. Und zwar soll ich die Dimension U in Abhängigkeit von a und b bestimmen, wenn U die lineare Hülle der drei Vektoren ist. $\begin{eqnarray} x_1 = (1,2,1,0,0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = (1,a,-1,0,0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3 = (1,-2,1,b,1) \end{eqnarray}$ Nun habe ich nachgeschaut und festgestellt, dass die maximale Anzahl linear unabhäniger Vektoren aus U die Dimension U genannt wird (dimU). Demnach muss ich diese drei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfen, das heißt diese drei Vektoren müssen auf die triviale Art den Null-Vektor ergeben. $\begin{eqnarray} 0 = m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3 \end{eqnarray}$ Wobei m ein Element aus den reellen Zahlen ist. $\begin{eqnarray} 0 = m_1 + m_2 + m_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = 2m_1 + am_2 - 2m_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = m_1 - m_2 + m_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = bm_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = m_3 \end{eqnarray}$ Aus Gleichung fünf folgt, dass $\begin{eqnarray} m_3 = 0 \end{eqnarray}$ ist und daraus dass in Gleichung vier b beliebig gewählt werden kann. Das Problem entsteht nun on den Übrigen Gleichungen. Denn aus Gleichung drei folgt, dass $\begin{eqnarray} m_1 = m_2 \end{eqnarray}$ , da m3 ja null ist. Aus Gleichung eins jedoch folgt, dass $\begin{eqnarray} m_1 = -m_2 \end{eqnarray}$ Was sagt das jetzt mir? Dass diese beiden Ergebnisse nur erfüllt sind, wenn $\begin{eqnarray} m_1 = m_2 = 0 \end{eqnarray}$ ? Demnach wären ja alle drei Vektoren linear unabhängig, da alle drei m's null sein müssen. Die Dimension wäre ja dann dim U = 3 Danke schonmal für die Hilfe
19.04.2008, 10:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension U bestimmen Schreiben wir das mal als Spalten einer Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1&1&1 \\1&-1&1\\ 2&a& -2\\ 0&0&1 \\ 0&0&b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun bestimmen wir mit Hilfe des Gaussalgorithmus den Rang der Matrix. $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 1&-1&1\\ 2&a& -2 \\ 0&0&1 \\ 0&0&b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 0&2&0\\ 0&a-2& -4 \\ 0&0&1 \\ 0&0&b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Maximal kann der Rang der Matrix 3 sein. Zeile 1,2,4 sind unabhängig von a und b linear unabhängig (Treppenform). Da Zeilenrang=Spaltenrang sind auch die 3 Spaltenvektoren linear unabhängig.
19.04.2008, 10:38	MarkusHog	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort, aber mit dem Gausalgorithmus kann ich nicht wirklich etwas anfangen. Kannst du mir diesen anhand dieses Beispieles kurz erklären (vllt. machts klick und er ist mir doch bekannt), oder vielleicht kannst du es anhand meiner oben probierten Methode versuchen. Danke
19.04.2008, 11:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsc...ationsverfahren Dein Formaler Ansatz ist korrekt, das Lösen des LGS führt aber aber im Grunde auch wieder auf Gauss.
19.04.2008, 12:19	MarkusHog	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Danke

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