Wendepunkte

19.04.2008, 10:43

Seno

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Wendepunkte

Ich habe eine Aufgabe wo drin steht bestimme die Intervalle, in denen der Graph der funktion f eine links bzw eine rechtskurve bildet. Gegeben sind nur Formeln, also denke ich das man dabei nur rechnen und nicht zeichnen sollte, aber wie macht man das nun?

19.04.2008, 11:00

2press

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Stichwort: Zweite Ableitung.

19.04.2008, 11:05

Seno

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Und dann ?

19.04.2008, 11:11

Musti

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Kennst du nicht die Kriterien zum berechnen des Wendepunktes?
$\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Was für Formeln sind denn gegeben?

19.04.2008, 23:12

Seno

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achso nee kenn ich nicht, kannst du mir das erklären?

z.B $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}x^{3} - 3 \end{eqnarray*}$

20.04.2008, 01:35

Bjoern1982

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Joa dann berechne doch mal selbst die möglichen Wendestelle(n) x=w durch null setzen der 2. Ableitung und anschließender Überprüfung ob auch wirklich f '''(w) ungleich null gilt. Wenn beides zutrifft liegt ein Wendepunkt vor.

Ergänzung für die Art der Krümmung:

Statt einfach nur f '''(w) ungleich null zu fordern kann man präziser noch folgern:

falls f '''(w)<0 dann liegt vor x=w eine Links- und danach eine Rechtskrümmung des Graphen vor

falls f '''(w)>0 dann liegt vor x=w eine Rechts- und danach eine Linkskrümmung des Graphen vor

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20.04.2008, 08:55

Seno

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Rechnung:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}x^{3} -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(0)=2x=0 \end{eqnarray*}$

0 in 3 Ableitung einsetzten:
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=2 \end{eqnarray*}$

Das heißt jetzt also es liegt ein Wendepunkt in einer Rechts und danach einer Linkskrümmung vor? Woher weiß man jetzt wo die ist?

Und wie ist das bei anderen Funktionen woher weiß man wie die Kurven verlaufen und wieviele es gibt?

20.04.2008, 09:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von Seno
Das heißt jetzt also es liegt ein Wendepunkt in einer Rechts und danach einer Linkskrümmung vor?

Ja.

Zitat:

Original von Seno
Woher weiß man jetzt wo die ist?

Das solltest du über die Nullstelle der 2. Ableitung bestimmt haben. Oder wieso setzt du Null in die 3. Ableitung ein? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Seno
Und wie ist das bei anderen Funktionen woher weiß man wie die Kurven verlaufen und wieviele es gibt?

Man muß eben das Vorzeichen der 2. Ableitung untersuchen.
f''(x) > 0 ==> linksgekrümmt
f''(x) < 0 ==> rechtsgekrümmt

Und bei Funktionen wie f(x)=sin(x) gibt es beliebig viele "Kurven".

20.04.2008, 09:28

Seno

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Joa dann berechne doch mal selbst die möglichen Wendestelle(n) x=w durch null setzen der 2. Ableitung und anschließender Überprüfung ob auch wirklich f '''(w) ungleich null gilt. [..]

Deswegen ^^

Zitat:

Original von Klarsoweit
Man muß eben das Vorzeichen der 2. Ableitung untersuchen.
f''(x) > 0 ==> linksgekrümmt
f''(x) < 0 ==> rechtsgekrümmt

Aber bei der genannten Funktion ist f''(x) doch 0 traurig

traurig

20.04.2008, 09:38

Bjoern1982

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Zitat:

Aber bei der genannten Funktion ist f''(x) doch 0

Aber nur an der Wendestelle x=w, nicht links und rechts davon.

20.04.2008, 09:40

Seno

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Wenn ich jetzt z.B das die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=0.25 x^{4} - 2 x^{2} \end{eqnarray*}$ nehme dann habe ich eine Funktion 4 Grades, dh sie hat 3 Wendepunkte da gilt das mit

Statt einfach nur f '''(w) ungleich null zu fordern kann man präziser noch folgern:

falls f '''(w)<0 dann liegt vor x=w eine Links- und danach eine Rechtskrümmung des Graphen vor

falls f '''(w)>0 dann liegt vor x=w eine Rechts- und danach eine Linkskrümmung des Graphen vor.

ja nicht. Kann man das verallgemeinern oder gibt es da eine Regel?

20.04.2008, 09:49

Bjoern1982

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Warum sollte das hier nicht gelten ?

Es gibt 2 Wendepunkte, nicht 3.

20.04.2008, 09:49

NatürlicheZahl

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Zitat:

Original von Seno
Wenn ich jetzt z.B das die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=0.25 x^{4} - 2 x^{2} \end{eqnarray*}$ nehme dann habe ich eine Funktion 4 Grades, dh sie hat 3 Wendepunkte da gilt das mit
[/B]

Das stimmt nicht! Eine Funktion 4. Grades hat keine 3 Wendepunkte.

Die Wendepunkte entsprechen den Nullstellen der 2. Ableitung, daher einer Funktion 2. Grades. Hieraus folgern wir, dass eine Funktion 4. Grades maximal 2 Wendepunkte haben kann.

20.04.2008, 09:54

Seno

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Warum sollte das hier nicht gelten ?

Es gibt 2 Wendepunkte, nicht 3.

http://www.pic-upload.de/20.04.08/vroj1s.JPG

das sind doch 3 wenn ich mich nicht irre...

hab hier das selbe gemacht die Funktion 2 mal Abgeleitet, das 0 gesetzt, anschließen die 3 Ableitung gebildet.

20.04.2008, 09:55

Bjoern1982

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Ich sehe 3 Extrempunkte, 3 Nullstellen und 2 Wendepunkte.

20.04.2008, 09:59

NatürlicheZahl

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Es ist doch ganz logisch:

Du findest die Wendepunkt einer Funktion, wenn du die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmst.

Und das sieht bei einer Funktion 4. Grades wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0.25x^4-2x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = x^3-4x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 3x^2-4 \end{eqnarray*}$

Also kann f''(x) maximal zwei Nullstellen haben und somit maximal zwei Wendepunkte.

20.04.2008, 09:59

Seno

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Ich sehe 3 Extrempunkte, 3 Nullstellen und 2 Wendepunkte.

=/ kann das sein das ich nicht weiß was ein Wendepunkt ist? xD kannst du mir sagen wo die sind?

20.04.2008, 10:02

NatürlicheZahl

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$\begin{eqnarray*} W_1 = - \frac{2* \sqrt 3}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W_2 = \frac{2* \sqrt 3}{3} \end{eqnarray*}$

20.04.2008, 10:02

Seno

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Zitat:

Original von NatürlicheZahl
Es ist doch ganz logisch:

Du findest die Wendepunkt einer Funktion, wenn du die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmst.

Und das sieht bei einer Funktion 4. Grades wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0.25x^4-2x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = x^3-4x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 3x^2-4 \end{eqnarray*}$

Also kann f''(x) maximal zwei Nullstellen haben und somit maximal zwei Wendepunkte.

oke danke hab ein rechen fehler gemacht smile

smile

habs verstanden. kannst du mir noch sagen wo die sind =/ anscheind hab ich immer gedacht extremstellen sind auch wendestellen...

wie kann man ausrechnen wo die wendestellen sind?

20.04.2008, 10:07

NatürlicheZahl

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Zitat:

Original von Seno
[...] kannst du mir noch sagen wo die sind =/ anscheind hab ich immer gedacht extremstellen sind auch wendestellen...

wie kann man ausrechnen wo die wendestellen sind?

wurde alles schon beantwortet Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.04.2008, 10:16

Seno

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Die wären dann bei wx1=1,15.. und wx2=-1.15 .. ?

20.04.2008, 10:20

Seno

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http://www.pic-upload.de/20.04.08/6ai7m8.JPG
sind die wendungen nicht daaa?? :S der graph geht doch erstmel nach unten dann links dann rechts runter und wieder links hoch :S:S:S

20.04.2008, 10:25

NatürlicheZahl

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Die rot-gekennzeichneten Punkte sind Extempunkte.

Die blauen sind die Wendepunkte.

20.04.2008, 10:33

Seno

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kannst du mir sagen wie man das definiert, ich bin etwas verwirrt.. unser lehrer meinte man solle sich die funktion wie ne straße vorstellen, wenn man z.B nach links lenkt dann ist dort ne linkskurve= Wendepunkt

20.04.2008, 10:38

NatürlicheZahl

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Wenn du dir das so vorstellst, ist der Wendepunkt die Stelle an der das Auto von einer Linkskurve in die Rechtskurve kommt.

20.04.2008, 10:39

Seno

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Vielen Dank an alle smile

smile

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