Orthogonalisierungsverfahren

19.04.2008, 11:20	Hello	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalisierungsverfahren Hallo ist habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe zum Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren... ich habe das Gefühl, dass ich den Ansatz nicht richtig hinbekommen habe. Folgendes ist die Aufgabenstellung: Geben Sie eine Orthonormalbasis des $\begin{eqnarray} \Bbb{R}^4 \end{eqnarray}$ an, die einen zu dem Vektor $\begin{eqnarray} \vec{v_1} = (3,3,3,3)^T \end{eqnarray}$ abhängigen Vektor enthält. Daraufhin hab ich erst mal einen bliebigen von $\begin{eqnarray} \vec{v_1} \end{eqnarray}$ linear unabhängigen Vektor gewählt. $\begin{eqnarray} v_1 = (1,1,1,1)^T \end{eqnarray}$ Danach das Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren angewendet, das wie folgt aussieht: $\begin{eqnarray} \vec{e_1} = \frac{\vec{v_1}}{\parallel\vec{v_1}\parallel} = \frac{1}{6}\cdot (3,3,3,3)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{e_2}^x = -<\vec{v_2} ,\vec{e_1} > \vec{e_1} + \vec{v_2} = -\frac{1}{6}\cdot\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 3\\ 3 \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) = - \frac{9}{12}\cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{e_2} = \frac{\vec{e_2}^x}{\parallel\vec{e_2}^x\parallel} = \frac{-(\frac{9}{12},\frac{9}{12},\frac{9}{12},\frac{9}{12})^T}{\sqrt{(\frac{9}{12}^2 + \frac{9}{12}^2 + \frac{9}{12}^2 + \frac{9}{12}^2}} = \frac{2}{3}\cdot (-(\frac{9}{12},\frac{9}{12},\frac{9}{12},\frac{9}{12})^T) = -\frac{1}{2}\cdot (1,1,1,1)^T \end{eqnarray}$ Die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{e_1}, \vec{e_2} \end{eqnarray}$ spannen den gleichen Raum auf, wie die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{v_1}, \vec{v_2} \end{eqnarray}$ Stimmt mein Vorgehen, oder hab ich schon bei der Umsetzung dieser Aufgabe Fehler gemacht? Falls ihr zu diesem Thema eine ausführliche und anschauliche Literatur kennt, dann würde ich mich sehr darüber freuen, wenn ihr mir sie nennen könntet! Vielen Dank!
19.04.2008, 15:17	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst doch nicht in jedem Schritt denselben Vektor benutzen. Offenbar hast du dir das Verfahren nicht ordentlich angeschaut. Du musst erstmal deinen Vektor v1 zu einer Basis des IR^4 ergänzen.
19.04.2008, 15:41	Hello	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da bin ich inzwischen schon etwas weitergekommen: Hab jetzt einfach die drei Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{v_2} = (0,1,0,0)^T \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{v_3} = (0,0,1,0)^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{v_4} = (0,0,0,1)^T \end{eqnarray}$ aufgestellt und dann mit dem Schmidtschen Verfahren die vier Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{e_1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{e_2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{e_3} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{e_4} \end{eqnarray}$ bestimmt. Mein Problem liegt jetzt nicht an dem Verfahren, sondern an der Aufgabenstellung allgemein.... Ist das aktuelle vorgehen jetzt richtig?

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