Vollständige Induktion

05.11.2005, 12:04

Simone2805

Vollständige Induktion

Hallo, Ich brauche eure Hilfe:
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

II k=2( 1 - 1/k^2) = 1/2 (1+ 1/n)
Das II steht für das große pi, also für Produkt.
Viele Grüße Simone

05.11.2005, 12:13

papahuhn

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RE: Vollständige Induktion
Könntest du das bitte mal im Formeleditor schreiben? Bis wohin geht das Produkt?

05.11.2005, 12:43

sqrt(2)

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Sinn ergeben würde

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ .

Was hast du dir dazu schon überlegt, Simone? Zumindest der Induktionsanfang sollte drin sein. Bist du schon weiter und hängst an einer Stelle?

05.11.2005, 14:27

Simone2805

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Hallo sqrt,
bin schon etwas weiter und hänge fest.
Schreib mir mal bitte deine eMail Adresse, komme mit dem Formeleditor irgendwie nicht klar.
Bin doch noch neu hier
Danke Simone

05.11.2005, 14:32

sqrt(2)

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Der Sinn und Zweck dieses Forums ist, dass die Allgemeinheit von den Lösungshilfen profitieren kann.

Dir bleiben mehrere Möglichkeiten, dein Problem zu schildern, ohne den Formeleditor zu benutzen. Du kannst die Formeln auch im Text schreiben, so lange deine Schreibweise übersichtlich und eindeutig ist, oder du könntest beispielsweise die Formeln in einem anderen Programm setzen und hier als Bild anhängen. Dasselbe ist natürlich mit eingescannter Handschrift möglich.

05.11.2005, 14:56

Simone2805

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Soweit bin ich jetzt, stecke im Beweis, habe den Rest allerdings nicht nicht eingescannt, mir reicht schon ,wenn du mir sagst ob mein Ansatz richitg ist.

Ich wusste nicht dass man Bilder anhängen kann, deswegen habe ich nach deiner eMail Adresse gefragt

05.11.2005, 15:00

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Du solltest alle Ausdrücke auf einen Hauptnenner bringen, also z.B.

$\begin{eqnarray*} \left( 1-\frac{1}{(n+1)^2} \right) = \frac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2} = \frac{n^2+2n}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Und dann scharf ansehen, was man alles kürzen kann.

05.11.2005, 15:21

Simone2805

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Ich habs raus!!!!

05.11.2005, 18:18

rainbow

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Hallo, hab auch ne Aufgabe zur vollständigen Induktion, hänge an der Stelle $\begin{eqnarray*} (k+1)! \geq 2^k \end{eqnarray*}$
könnt ich dann ja noch schreiben als
$\begin{eqnarray*} k! * (k+1) \geq 2^k \end{eqnarray*}$

aber bringt mir das was?
Wie komm ich denn da jetzt weiter...
.. wenn ich das anschaue, ist längst klar, dass k! * (k+1) immer größer als 2^k ist, nur kann ich es nicht konkret hinschreiben...

06.11.2005, 12:05

rainbow

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Kann mir keiner helfen? unglücklich

06.11.2005, 12:23

papahuhn

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Also ich hätte da vielleicht ein neues Thema zu aufgemacht.
Ich nehme an, zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} k! \geq 2^k,\ k > 3 \end{eqnarray*}$ . Wie setzt du jetzt die Induktionsvoraussetzung ein? Beachte, dass es für Ungleichungen auch Umformungsgesetze gibt.

06.11.2005, 12:37

rainbow

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Nicht ganz, zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} k! \geq 2^{k-1} \end{eqnarray*}$
Hab erst den Beweis gemacht mit k=1 und dann den Induktionsschritt, also k-> k+1, und dann steht da halt $\begin{eqnarray*} (k+1)! \geq 2^k \end{eqnarray*}$
Aber jetzt komme ich wirklich nicht weiter...

Umformungsgesetze.. naja wenn ich mit einer negativen Zahl multipliziere oder den Kehrwert bilde, dreht sich das "Ungleichungszeichen" um.
Aber inwiefern muss ich das hier beachten?

Hilfe

06.11.2005, 12:50

papahuhn

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Wenn du $\begin{eqnarray*} (k+1)! \geq 2^k \end{eqnarray*}$ hinschreibst, musst du nicht weiterkommen. Das willst du schließlich zeigen, und darfst es deshalb nicht voraussetzen. Ich mach dir mal ein Beispiel für $\begin{eqnarray*} n² \geq 2n,\ n \geq 2 \end{eqnarray*}$ .
Anfang: $\begin{eqnarray*} n = 2 \checkmark \end{eqnarray*}$ .
Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} n² \geq 2n \end{eqnarray*}$ für ein festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Schritt: $\begin{eqnarray*} (n+1)² = n² +2n +1 \geq 2n + 2n +1 > 2n +2n > 2n + 2 = 2(n+1) \end{eqnarray*}$ .

q.e.d.

06.11.2005, 14:43

rainbow

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Okay, den Denkfehler den ich drin hatte, ist mir klar..
das 2^k soll also erst dabei herauskommen... Dein Beispiel hab ich auch soweit verstanden.
also fang ich an mit $\begin{eqnarray*} k! * (k+1) \geq k! \geq.. \end{eqnarray*}$
und dann?
Sorry, ich weiß echt nicht wie da vorgehen muss.

Hab mir jetzt schon lange den Kopf zerbrochen...

verwirrt

06.11.2005, 14:54

papahuhn

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Zitat:

Original von rainbow
Dein Beispiel hab ich auch soweit verstanden.
also fang ich an mit $\begin{eqnarray*} k! * (k+1) \geq k! \geq.. \end{eqnarray*}$

Hmm, oder auch nicht. Schau dir genau an, wo ich die Voraussetzung benutzt habe, und wo die Abschätzung stattgefunden hat.

06.11.2005, 16:06

rainbow

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Schade, eigentlich dachte ich schon, dass ich das Beispiel verstanden hatte.
Mich irritiert diese blöde Fakultät in meiner Aufgabe...

.. aber egal, ich kann nachdenken so viel ich will, ich kriege diese Aufgabe nicht gelöst, und anscheinend will mir auch keiner helfen..
.. naja egal. traurig

ciao, liebe Grüße

07.11.2005, 23:18

MaggotManson

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Guck dir am besten nochmal genau die Umformungen in dem Beispiel von papahuhn an.

Zitat:

Original von papahuhn
Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} n² \geq 2n \end{eqnarray*}$ für ein festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Schritt: $\begin{eqnarray*} (n+1)² = n² +2n +1 \geq 2n + 2n +1 \end{eqnarray*}$ ....

Der erste Schritt ist ja noch bloßes Umformen nach der binomischen Formel.
Im zweiten wird aber die Induktionsvoraussetzung angewendet, nämlich $\begin{eqnarray*} n^2 \geq 2n \end{eqnarray*}$ .

Du fängst also an mit $\begin{eqnarray*} (k+1)! = (k+1) * k! \end{eqnarray*}$ .
Und dort setzt du die Voraussetzung ein, nämlich $\begin{eqnarray*} k! \geq 2^{k-1} \end{eqnarray*}$ .

Und das kannst du dann weiter umformen.

09.11.2005, 18:59

rainbow

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Dankeschön!
Bin dann aber an dem Abend noch selbst drauf gekommen..! Tanzen

War echt total simpel eigentlich, ich hab nur bis dato nie verstanden gehabt, wofür man die Induktionsvoraussetzung eigentlich macht, bzw. dass man die dann beim Beweis verwenden darf.
Naja, hatte abends noch mal kurz in den Workshop geschaut und dann hats Klick gemacht.

Lg, rainbow

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