minimaler Abstand zwischen 2 Autos

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tim taler Auf diesen Beitrag antworten »
minimaler Abstand zwischen 2 Autos
Hallo zusammen,

bin gerade bei folgender Extremwertaufgabe:
Zwei Autos fahren auf geraden Strassen, die sich unter einem Winkel von 120° schneiden, mit gleicher Geschwindigkeit v=50km/h. Zum Zeitpunkt als das eine Auto die Kreuzung passiert ist das andere noch s=5km davon entfernt. Nach welcher Zeit ist der Abstand der Autos minimal und wie groß ist diese minimale Entfernung?

HINWEIS:
Legen Sie ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Ursprung in die Kreuzung und der x-Achse auf eine der beiden Straßen.

mein Ansatz:

habe mir die Skizze gemacht. eine Strasse liegt auf meiner x-Achse, die andere im Winkel 120° dazu, links von der y-Achse...
Wenn nun das Auto auf meiner x-Achse die Kreuzung also den Koordinatenursprung erreicht, ist das andere noch 5km davon entfernt.
Man merkt das der Abstand, hinter dem Kreuzungspunkt, minmal wird.

Kann als Zielfunktion die Formel s=v*t heranziehen und das dann mit dem enstehenden Dreieck aus der Skizze verbinden?

Gruss, tt
Gemaro Auf diesen Beitrag antworten »



ich würde als Hauptbedingung eine Funktionsuchen die den Abstand der beiden Autos zu jedem Zeitpunkt beschreibt (ist wahrscheinlich das Dreieck aus deiner Skizze).

und in die Nebenbedingung die 5km Vorsprung einbauen, bsp so:
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne jetzt irgendwas zu rechnen denke ich mir, dass die Informationen in der Aufgabe mal wieder nicht ausreichen. Sagen wir, das grüne Auto fährt (auf der x-Achse) von rechts nach links. Da macht es für den minimalen Abstand ja wohl einen Unterschied, ob das rote Auto von oben nach unten oder von unten nach oben fährt...

EDIT: Die zu minimierende Abstandsfunktion kann man mit Hilfe des Cosinussatzes bestimmen.
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke.

Der Abstand des grünen Autos, welches auf der x-Achse fährt, zum Koordinatenursprung beträgt x
Der Abstand des roten Autos zum Koordinatenursprung demnach konstant x+5km, also (x+5)
Das wären zwei Seiten meines Dreiecks, dazu ist der dazwischenliegende Winkel zu 120° gegeben, also Cosinussatz
Die gegenüberliegende Seite des bekannten Winekls ist gleich dem Abstand der beiden Autos und sei c bzw f(x). Also die Abstandsfkt. die es zu minimieren gilt.

Habe alles eingesetzt und zusammengefasst damit komme ich zu:





gleich 0 setzen und nach x auflösen ergibt den minimalen Abstand:





Der Abstand sollte aber positiv sein, also 5/2km =2,5km. Habe ich da was falsch gemacht oder wie erklärt sich das?

Wie komme ich zur gesuchten Zeit?

Gruss, tt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme auf 3 Minuten.
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo WebFritzi,

und wie kommst du zu den 3 Minuten?
warum ist das Vorzeichen bei meinem x-Wert negativ, müßte es nicht positiv sein?

Gruss, tt
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne doch erstmal

r(t) : Position des grünen Autos auf der x-Achse nach t Stunden
g(t): Weg, den das rote Auto auf dem roten Strahl nach t Stunden von der Kreuzung aus zurückgelegt hat.

Mach dir eine Skizze: Über den Cosinussatz kannst du dann d(t), den Abstand der beiden Autos zur Zeit t, berechnen.

(Du musst auch noch zeigen, dass das gleiche für d(t) herauskommt, wenn das grüne Auto über den Nullpunkt hinaus ist)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tim taler
Der Abstand des grünen Autos, welches auf der x-Achse fährt, zum Koordinatenursprung beträgt x
Der Abstand des roten Autos zum Koordinatenursprung demnach konstant x+5km, also (x+5)

Irgendwie verstehe ich den Ansatz nicht so ganz. Wir haben doch für jedes Auto für jede Koordinate eine Bewegungsgleichung. Für das grüne Auto, das auf der x-Achse fährt, sind das:
x_1 = 50 * t und y_1 = 0
Zum Zeitpunkt t=0 befindet sich also das grüne Auto im Koordinatenursprung.

Das rote Auto ist da 5 km entfernt und zwar entweder im Punkt oder im Punkt
Entsprechend dieser Ausgangspunkte müssen die Bewegungsgleichungen aufgestellt werden.

Im übrigen braucht man die Abstände der Fahrzeuge nicht mit dem Cosinussatz bestimmen, sondern man kann ganz einfach für den Abstand d die Gleichung aufstellen:
smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, es ist leichter, das grüne Auto bei (5,0) anfangen zu lassen und das rote im Ursprung.
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

@ klarsoweit:

ich habe es nachgerechnet und komme zu den gleichen Koordinaten.
mit dem Abstand passt es auch.

@Webfritzi:

r(t) = nach t Stunden ist das grüne Auto bei 50 km/h * t[h]

g(t) =

aber wie drücke ich g(t) nun aus?
also mein grünes Auto steht im Ursprung und mein rotes ist 5km entfernt davon im 2.Quadranten bei(-2.5,2.5*sqrt(3)). Soweit verstehe ich das.

Gruss, tt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn g(t) die Bewegungsgleichung für das auf der x-Achse fahrende grüne Auto sein soll, dürfte das doch kein Problem sein, oder?
Gemaro Auf diesen Beitrag antworten »

Die Geschwindigkeit brauch man doch gar nicht unbedingt, weil die doch gleich schnell sind und deswegen bleibt der Abstand doch gleich oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, die Summe der Abstände vom Ursprung bleibt gleich, nicht der direkte Abstand. Man kann natürlich aufgrund dieser Tatsache einen anderen Ansatz verfolgen:

Das grüne Auto startet in (-5; 0) Richtung Ursprung. Das rote Auto startet vom Ursprung Richtung 2. oder 4. Quadranten. Wenn das grüne Auto die Strecke s zurückgelegt hat, ist das rote Auto bei (-cos(60°)*s; sin(60°)*s) (wenn es in den 2. Quadranten fährt). Jetzt noch das Quadrat der Abstände beider Autos bestimmen und das minimieren.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Das grüne Auto startet in (-5; 0) Richtung Ursprung.


Warum startet es nicht bei (5; 0) ??? Das meinte ich oben mit der Unvollständigkeit der Informationen in der Aufgabe.
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

@ klarsoweit:
nein die Gleichung r(t) beschreibt das grüne Auto auf der x-Achse.
die habe doch in meinem letzten Post hingeschrieben. Ich suche g(t) die Gleichung des roten Autos.
ich habe mein grünes Auto bei (5,0) starten lassen, wie es WebFritzi angedeutet hat. Komme aber nun nicht zur Zeit. Abstand haben wir ja soweit...

Gruss, tt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tim taler
@Webfritzi:

r(t) = nach t Stunden ist das grüne Auto bei 50 km/h * t[h]


Das ist nicht richtig. Das ist nur der Weg, den das Auto zurueckgelegt hat. Die Position des gruenen Autos zur Zeit t (in Stunden) ist

g(t) = 5 - 50t.

r(t) brauchst du nicht. Was du haben willst, ist der Abstand der beiden Positionen zur Zeit t. Dazu brauchst du aber nur die zurueckgelegten Wege. Da die Autos gleich schnell fahren, sind diese beiden Wege gleich. Sei also x der zurueckgelegte Weg. x und t haengen wie folgt zusammen:

x = 50t.

Markiere die Positionen der Autos in einer Skizze. Du kannst dir dann ein Dreieck konstruieren mit den Laengen x, 5-x und dem gesuchten Abstand. Da der Winkel bekannt ist (120 Grad), kannst du den Kosinussatz verwenden, um die gesuchte Groesse d(x) zu berechnen. Minimiere nun d(x). Du wirst ein x fuer die Mimimalstelle herausbekommen. Finde nun das dazugehoerige t raus.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tim taler
@ klarsoweit:
nein die Gleichung r(t) beschreibt das grüne Auto auf der x-Achse.
die habe doch in meinem letzten Post hingeschrieben. Ich suche g(t) die Gleichung des roten Autos.
ich habe mein grünes Auto bei (5,0) starten lassen, wie es WebFritzi angedeutet hat. Komme aber nun nicht zur Zeit. Abstand haben wir ja soweit...

Das ist natürlich verwirrend. Ich dachte "r" steht für rot und "g" für grün. Aber egal, wo das grüne Auto startet. Den prinzipiellen Lösungsansatz kannst du meinem letzten Post entnehmen.
tim taler Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar.
2,5Km= 50km/h*t
t=0,05h =3min.

Dankeschön!

Gruss, tt
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