Vektorrechnung im Dreieck- Problem!

19.04.2008, 20:41

Sarah00

Vektorrechnung im Dreieck- Problem!

Hallo Leute!

Habe folgendes Verständinsproblem, und zwar hab ich folgende Aufgabe:

Berechne die Länge der Höhen des Dreiecks A(2/3/4), B(-8/-11/-6), C(-2/3/-5) !

Kann ich die Aufgabe etwa nicht mit folgender Formel lösen : $\begin{eqnarray*} \vec{n} \cdot X = \vec{n} \cdot A \end{eqnarray*}$

also bei Hc für A einfach A (1/1,5/2) einsetzen, und für $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ irgendeinen Richtungsvektor von A ??

Oder muss ich hier grundsätzlich anders vorgehen?

Wäre euch für Hilfe sehr dankbar

19.04.2008, 20:50

Musti

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RE: Vektorrechnung im Dreieck- Problem!
Was soll A und X sein?

Also vllt. gehts leichter aber ich würde aus der Grundseite des Dreiecks eine Gerade machen und den Abstand zum Punkt C bestimmen. Also den Abstand zwischen Gerade und Punkt.

19.04.2008, 20:52

Sarah00

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ja aber wie soll ich eine Gerade bestimmen, wenn die Punkte immer durch 3 Koordinaten gegeben sind ? Eine Gerade mit 3 Koordinaten ist doch immer eine Ebene?

danke für deine antwort!

19.04.2008, 21:22

Bjoern1982

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Zitat:

Kann ich die Aufgabe etwa nicht mit folgender Formel lösen : $\begin{eqnarray*} \vec{n} \cdot X = \vec{n} \cdot A \end{eqnarray*}$

Definitiv nicht - das könnte unter Umständen eine umgeformte Normalengleichung einer Ebene sein, hat mit dieser Aufgabe aber rein gar nichst zu tun.

Gehe so vor wie von Musti vorgeschlagen und bestimme den Abstand des jeweiligen Eckpunktes des Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite, denn genau das ist versteht man unter der Länge der Höhe.

Eine Gerade durch 2 Punkte A und B erhält man wie immer so:

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\vec{OA}+k \cdot \vec{AB} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \vec{AB}= \vec{OB} -\vec{OA} \end{eqnarray*}$

Falls es zum allgemeinen Verfahren zur Bestimmung Abstand Punkt-Gerade noch Fragen gibt melde dich einfach =)

Gruß Björn

19.04.2008, 21:56

Leopold

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Man könnte das auch mit der Heron-Formel erledigen. Für den Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eines Dreiecks mit den Seitenlängen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ gilt nämlich:

$\begin{eqnarray*} F = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4} \sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2 b^2 + 2a^2 c^2 + 2b^2 c^2} \end{eqnarray*}$

Die Höhen bekommt man dann leicht mit

$\begin{eqnarray*} h_t = \frac{2F}{t} \, , \ \ t \in \{ a,b,c \} \end{eqnarray*}$

Und wie man $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ aus den Koordinaten der Punkte $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ ermittelt, sollte klar sein.

20.04.2008, 10:29

Sarah00

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Vielen Dank für eure Antworten!

Ich habs mit dem Abstand Punkt- Gerade hinbekommen Freude

aber ich hab auch folgendes probiert:

hab den Winkel zwischen AB und AC bestimmt, und dann mit sin $\begin{eqnarray*} sin\alpha = b / hc \end{eqnarray*}$ hc bestimmt, stimmt abe rnicht.

Warum?

Vielen dank !

20.04.2008, 10:40

Bjoern1982

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Zitat:

hab den Winkel zwischen AB und AC bestimmt, und dann mit sin $\begin{eqnarray*} sin\alpha = b / hc \end{eqnarray*}$ hc bestimmt, stimmt abe rnicht.

Du musst Zähler und Nenner vertauschen denn b ist die Hypothenuse.
Kannst ja mal deinen Rechenweg posten.
Bedenke auch dass $\begin{eqnarray*} b=|AC|=|\vec{OC} -\vec{OA} |=\sqrt{(c_1-a_1)^2+(c_2-a_2)^2+(c_3-a_3)^2} \end{eqnarray*}$

Björn

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