Permutationen

06.11.2005, 13:21

nofreak

Permutationen

Kann mir bitte jemand helfen folgende Aufgabe verständlich zu machen:

Die folgende Aufgabe ist sinnvoll für beliebige $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ .
Sie wird hier für n=4 gestellt. Der allgemeine Fall kann fakultativ betrachtet werden.
Betrachtet werde für eine natürliche Zahl k mit $\begin{eqnarray*} 2\leq k\leq n \end{eqnarray*}$ das in Zyklenschreibweise durch $\begin{eqnarray*} \sigma = (1,2,...,k) \end{eqnarray*}$ gegebene Element der Permutationsgruppe $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ .
Es ist also $\begin{eqnarray*} \sigma(j)=j+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1\leq j<k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sigma(k)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma(j)=j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq j>k \end{eqnarray*}$ (falls es solche j gibt).

(a) Man berechne $\begin{eqnarray*} \sigma^m \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

(b) Man berechne das Vorzeichen $\begin{eqnarray*} sign(\sigma) \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von n,k.

(c) Man schreibe $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ als Produkt $\begin{eqnarray*} \prod_{j=1}^l~\sigma_j \end{eqnarray*}$ von Zyklen $\begin{eqnarray*} \sigma_j \end{eqnarray*}$ der Länge zwei.

(d\*) (Fakultativ) Man löse vorstehende Aufgabe für einen beliebigen Zyklus der Länge k.

Danke
nofreak

06.11.2005, 13:51

nofreak

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Ich stelle schon mal wilde Überlegungen an:

\thinkloudon
n ist also 4, d.h. $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ , hat also 4 Spalten $\begin{eqnarray*} \left( \sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ ? & ? & ? & ? \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

und für k heißt das $\begin{eqnarray*} 2\leq k\leq 4 \end{eqnarray*}$ , die Zyklen sind dann
$\begin{eqnarray*} \sigma_1=(1,2) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \sigma_2=(1,2,3) \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} \sigma_3=(1,2,3,4) \end{eqnarray*}$ , je nach dem wie k gewählt wurde.

dann ist
$\begin{eqnarray*} \sigma_1=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \sigma_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \sigma_3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

zu (a)
kann man allgemein halten, weil es immer für $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \sigma^m=\begin{cases}\sigma& \text{für $\sigma^{2m}$}\\\sigma^{-1}& \text{für $\sigma^{2m+1}$ $$ }\end{cases}\ \forall m\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

(b),(c),(d) ???

\thinkloudoff

06.11.2005, 23:13

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Zu (a): Sei $\begin{eqnarray*} g=\mathrm{ggT}(k,m) \end{eqnarray*}$ . Dann zerfällt $\begin{eqnarray*} \sigma^m \end{eqnarray*}$ in genau $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ Zyklen der Länge $\begin{eqnarray*} \frac{k}{g} \end{eqnarray*}$ .

Zu (b): Das Vorzeichen ist nur von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , aber nicht von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängig. Siehe auch (c).

Zu (c): Es ist $\begin{eqnarray*} (1,2,\ldots,k) = (1,2,\ldots,k-1) \cdot (1,k) \end{eqnarray*}$ .

07.11.2005, 09:07

nofreak

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Danke für die Antwort.

zu (a)
gilt nicht immer $\begin{eqnarray*} (\sigma^{-1})^{-1} = \sigma = \sigma^m \end{eqnarray*}$ für m gerade und $\begin{eqnarray*} ((\sigma^{-1})^{-1})^{-1} = \sigma^{-1} = \sigma^m \end{eqnarray*}$ für m ungerade, es sei denn es gibt keine Vertauschungen, dann ist $\begin{eqnarray*} \sigma^{-1} = \sigma = \sigma^m \end{eqnarray*}$ für alle m?

zu (b)
k ist doch aber von n abhängig, daraus folgt doch dass das Produkt sowohl von k als auch von n abhängig sein muss ('ne Verkettung eben)

zu c)
sind damit Transpositionen gemeint?

Grüße nofreak

07.11.2005, 11:24

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Zitat:

Original von nofreak
zu (a)
gilt nicht immer $\begin{eqnarray*} (\sigma^{-1})^{-1} = \sigma = \sigma^m \end{eqnarray*}$ für m gerade und $\begin{eqnarray*} ((\sigma^{-1})^{-1})^{-1} = \sigma^{-1} = \sigma^m \end{eqnarray*}$ für m ungerade, es sei denn es gibt keine Vertauschungen, dann ist $\begin{eqnarray*} \sigma^{-1} = \sigma = \sigma^m \end{eqnarray*}$ für alle m?

Keine Ahnung, wie du auf diese Aussagen kommst, aber sie lassen sich durch einfache Gegenbeispiele widerlegen:

Sei z.B. $\begin{eqnarray*} \sigma=(1,2,3,4) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \sigma^{-1}=(1,4,3,2)=\sigma^3 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \sigma^2=(1,3)(2,4) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von nofreak
zu (b)
k ist doch aber von n abhängig, daraus folgt doch dass das Produkt sowohl von k als auch von n abhängig sein muss ('ne Verkettung eben)

Ich weiß jetzt nicht, von welcher Abhängigkeit du da ausgehst, abgesehen von der natürlich geltenden Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} k\leq n \end{eqnarray*}$ . Aber die Tatsache, ob die Permutation (1,2,...,k) gerade oder ungerade ist, hängt nur von k und nicht von n ab.

Zitat:

Original von nofreak
zu c)
sind damit Transpositionen gemeint?

Ich verwende hier grundsätzlich nur die Zykelschreibweise, und $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ als Verkettung (Hintereinanderausführung) der Permutationen.

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