Jordanform nilpotenter Matrizen

19.04.2008, 21:16	Gast1904	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordanform nilpotenter Matrizen Hi, ich habe bei folgender Aufgabe ein bisschen Startprobleme: $\begin{eqnarray} \begin{array}{l}\text{Es sei } \\ A =\begin{pmatrix} A_1 & & \\ & ... & \\ & & A_r \end{pmatrix} \text{ mit } A_i = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & 0 \\ & ... & ... & \\ & & ... & 1 \\ 0 & & & 0 \end{pmatrix} \\ \text{ eine nilpotente Matrix in Jordanform, wobei die Kästchen} A_1, ..., A_r \text{ die Größen } a_1, ... , a_r \text{ haben sollen. Man zeige } \\ \text{ (c) Zwei nilpotente Matrizen in Jordanform wie oben sind genau dann ähnlich zueinander, wenn sie aus genau den} \\ \text{ selben Blöcken, nur evtl. in anderer Reihenfolge, bestehen.}\end{array} \end{eqnarray}$ Irgendwie hab ich nicht so den richtigen Ansatz für die Aufgabe. In Teil a) und b) habe ich schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray} dim Ker A^k = \sum_{i=1}^r~min\{k,a_i\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2 dim Ker A^k - dim Ker A^{k-1} - dim Ker^{k+1} \end{eqnarray}$ die Anzahl der Kästchen A_i der Größe k ist. wenn die Matrizen A und A' ähnlich sind müssen die Determinanten ja übereinstimmen. Ich habe jetzt schon überlegt, dass ja je Blockverschiebung immer eine Kombination aus einer Zeilen und einer Spaltenvertauschung durchgeführt wird, also das Vorzeichen immer zweimal geändert wird, als gleich bleibt. Aber so wirklich bringt mich das auch nicht weiter. Was mich noch ein bischen irritiert, ist, dass doch eigentlich die determinante einer Dreiecksmatrix gleich dem Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen ist. Die Jordanform der nilpotenten Matrix hat aber doch grade nur Nullen auf der Hauptdiagonalen, also wäre die Determinante doch immer Null oder wo liegt da mein Fehler? Wäre für einen kleinen Denkanstoß wirklich dankbar. edit (MSS): Latex verbessert.
19.04.2008, 22:52	Gast1904	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, sorry für den humbuck, den ich oben geschrieben habe. Das mit den Determinanten ist ja nur notwendig, aber nicht hinreichend. hab irgendwas falsch gelesen. ich muss also die matrix T finden, sodass A' = T^-1 A T gilt. Aber wie kommt man auf eine solche Matrix T? Oder gibt es da einen einfacheren Weg das herauszubekommen?

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